2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，则a3＝（）A．3B．7C．8D．92．（5分）设a∈R，直线l21：ax+2y﹣1＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣a＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A．1B．﹣2C．D．1或﹣23．（5分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，则a2023＝（）A．B．C．D．34．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则（）A．B．C．D．5．（5分）已知直线l*22n：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N）与圆∁n：（x﹣2）+y（an＞0），给出下面三个结论：①直线ln与直线ln+1平行且两直线距离为1；②若直线l，与圆∁n相切，则an＝n；③若直线ln与圆∁n相切，圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（5分）设椭圆䁖＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线l交椭圆于M，N两点，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|：，则C的离心率为（） A．B．C．D．7．（5分）关于x的方程݇有唯一解，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞28．（5分）已知曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，则的最大值为（）A．B．C．1D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设{，，}是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A．若⊥，⊥，则⊥B．，，一定能构成空间的一个基底C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyzD．存在有序实数对，使得xy（多选）10．（5分）已知直线l：x﹣y+5＝0，过直线上任意一点M作圆C：（x﹣3）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则有（）A．|MA|长度的最小值为B．不存在点M使得∠AMB为60°C．当|MC|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0D．若圆C与x轴交点为P，Q，则的最小值为28（多选）11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0），若圆x2+（y﹣2）2＝1与双曲线C的渐近线相切，则（）A．双曲线C的实轴长为B．双曲线C的离心率e＝2C．点P为双曲线C上任意一点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1d2，则d1d2D．直线y＝k1x+m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点） 的斜率为k2，则k1k2＝3（多选）12．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知䁖为奇数大衍数列{an}满足a1＝0，an+1，则（）䁖为偶数A．a4＝6B．an+2＝an+2（n+1）䁖为奇数C．an䁖为偶数D．数列{（﹣1）nan}的前2n项和为n（n+1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为．14．（5分）设点A（3，5），点B和C分别为直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则|A1G|＝．*16．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N，都有λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{c*n}满足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N），则该数列不是比等差数列；②若数列满足an﹣1n＝3•2，则该数列是比等差数列，且比公差λ＝0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．其中所有正确的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知圆C的圆心在直线l1：y＝﹣x﹣1上，且经过A（0，﹣1），B（2，﹣1）两点．（1）求圆C的方程；（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．218．（12分）已知函数f（x）＝2cosx．（1）求函数f（x）的单调增区间与值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面积为，求tanB的值．19．（12分）设首项为的数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Sn，求证：＜．2222参考公式：1+2+3+•s+nn（n+1）（2n+1）．20．（12分）已知双曲线．（1）过点N（1，4）的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；（2）直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A（x0，0），B（0，y0）两点．当点M运动时，求点P（x0，y0）的轨迹方程，21．（12分）已知：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M为PD中点，PA＝AD＝1．（1）求证：平面MAC⊥平面PCD；（2）求点P到平面MAC的距离． 22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，则a3＝（）A．3B．7C．8D．9【解答】解：∵数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，∴a2＝2a1+1＝3，a3＝2a2+2＝8，故选：C．2．（5分）设a∈R，直线l21：ax+2y﹣1＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣a＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A．1B．﹣2C．D．1或﹣2【解答】解：∵a∈R，直线l21：ax+2y﹣1＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣a＝0，l1⊥l2，∴a×1+2×（a+1）＝0，求得a，故选：C．3．（5分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，则a2023＝（）A．B．C．D．3【解答】解：∵数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，∴a2a1＝a1﹣1，可得a2，a2a3＝a2﹣1，可得a3，a3a4＝a3﹣1，可得a4＝3，........．可得数列{an}是周期为3的数列，且前三项为：3，，，∴a2023＝a1＝3．故选：D．4．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则 （）A．B．C．D．【解答】解：E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则䁖．故选：B．5．（5分）已知直线l*22n：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N）与圆∁n：（x﹣2）+y（an＞0），给出下面三个结论：①直线ln与直线ln+1平行且两直线距离为1；②若直线l，与圆∁n相切，则an＝n；③若直线ln与圆∁n相切，圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由直线l*n：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N），可得直线ln+1：3x﹣4y+5（n+1）﹣6＝0，即3x﹣4y+5n﹣1＝0，ͷͷ∴直线ln与直线ln+1平行，直线ln与直线ln+1的距离为1，故①正确．由圆∁22n（x﹣2）+y（an＞0），得圆心∁n（2，0），半径为an，ͷ若直线ln与圆∁n相切，∴an，∴an＝n，故②正确．圆C22n+1与圆∁n是同心圆，故圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积为π（an+1）﹣π（an）＝π（2n+1）≥3π，当且仅当n＝1时取等号，故圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D．6．（5分）设椭圆䁖＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直 线l交椭圆于M，N两点，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|：，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵过原点O的直线l交椭圆于M，N两点，∴MN被O平分，又F1F2被O平分，∴四边形MF1NF2是平行四边形，又|MN|＝2c＝|F1F2|，∴四边形MF1NF2是矩形，∵|MF2|：|NF2|：，由对称性可得|MF1|＝|NF2|，∴设|MF2|＝m，|MF1|＝2m，∴|F1F2|3m，∴m，∴|MF2|+|MF1|2a，∴．故选：B．7．（5分）关于x的方程݇有唯一解，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞2【解答】解：分别画出曲线y，y＝kx+4，由y，化为x2+y2＝4（0≤y≤2），可得次曲线是以原点O为圆心，2为半径的半圆，与x轴相交于点A（﹣2，0），B（2，0）．直线y＝kx+4经过定点P（0，4）．分类讨论：①直线与半圆相切时，圆心O到直线的距离d2，解得k＝±，此时直线与݇半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程݇有唯一解．②直线y＝kx+4经过点A（﹣2，0）是满足0＝﹣2k+4，解得k＝2，可得k＞2时，直线与半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程݇有唯一解．③直线y＝kx+4经过点B（2，0）是满足0＝2k+4，解得k＝﹣2，可得k＜﹣2时，直线与半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程݇有唯一解．综上①②③可得：实数k的取值范围是k＞2或k＜﹣2或k＝±，故选：C． 8．（5分）已知曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，则的最大值为（）A．B．C．1D．【解答】解：∵曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，∴|x|y＝1﹣（x2+y2），又|x|y，22∴1﹣（x+y），∴1，∴x2+y2≤2，∴，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴的最大值为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设{，，}是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A．若⊥，⊥，则⊥B．，，一定能构成空间的一个基底C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyzD．存在有序实数对，使得xy【解答】解：对于A，⊥，⊥，不能得出⊥，也可能是、相交不一定垂直，选项A错误； 对于B，假设向量，，共面，则x（）+y（），x、y∈R，化简得（x+y）（1﹣x）（1﹣y），所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项B正确；对于C，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyz，选项C正确；对于D，因为{，，}是空间一个基底，所以与、不共面，选项D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知直线l：x﹣y+5＝0，过直线上任意一点M作圆C：（x﹣3）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则有（）A．|MA|长度的最小值为B．不存在点M使得∠AMB为60°C．当|MC|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0D．若圆C与x轴交点为P，Q，则的最小值为28【解答】解：由题知圆C的圆心为（3，0），半径为r＝2，对于A：因为圆心（3，0）到直线l：x﹣y+5＝0的距离为d4，所以|MC|min＝4，所以|MA|min晦2，对于B：假设存在点M使得∠AMB为60°，如图，则∠AMC＝30°，故在Rt△AMC中，|MC|＝2r＝4，由A知|MC|min＝4＞4，故矛盾，即不存在点M使得∠AMB为60°，故B正确；对于C：由于MC⊥AB，故四边形MACB的面积为SMACB|MC|•|AB|＝2S△MAC＝|MA|•r＝2|MA|，所以|MC|•|AB|＝4|MA|，故当|MC|•|AB|最小时，|MA|最小，由A选项知|MA|min晦2，此时MC⊥l，l∥AB，即直线AB的斜率为1，由于直线x﹣2y﹣1＝0的斜率为，故C错误；对于D：由题知P（1，0），Q（5，0），设M（x，x+5）， （1﹣x，﹣x﹣5）•（5﹣x，﹣x﹣5）＝（5﹣x）（1﹣x）+（x+5）2＝2x2+4x+30＝2（x+1）2+28≥28，当且仅当x＝﹣1时等号，故的最小值为28，故D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0），若圆x2+（y﹣2）2＝1与双曲线C的渐近线相切，则（）A．双曲线C的实轴长为B．双曲线C的离心率e＝2C．点P为双曲线C上任意一点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1d2，则d1d2D．直线y＝k1x+m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2＝3【解答】解：根据题意可得：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，又圆x2+（y﹣2）2＝1与双曲线C的渐近线相切，∴圆心（0，2）到渐近线x±ay＝0的距离dr，∴，又a＞0，∴a，又b＝1，∴c，对A选项，∵双曲线C的实轴长为2a，∴A正确；对B选项，∵双曲线C的离心率e2，∴B选项正确；对C选项，设P为（m，n），又P在双曲线上，∴，∴b2m2﹣a2n2＝a2b2，又P为（m，n）到双曲线的渐近线bx±ay＝0的距离分别为：，，∴，∴C选项错误； 对D选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），又A，B在双曲线上，∴，两式相减可得：，∴݇݇，又，b2＝1，∴3﹣k1k2＝0，∴k1k2＝3，∴D选项正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知䁖为奇数大衍数列{an}满足a1＝0，an+1，则（）䁖为偶数A．a4＝6B．an+2＝an+2（n+1）䁖为奇数C．an䁖为偶数D．数列{（﹣1）nan}的前2n项和为n（n+1）䁖为奇数【解答】解：∵a1＝0，an+1，䁖为偶数∴a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，故A错误，当n为奇数时，an+1＝an+n+1，an+2＝an+1+n+1，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），当n为偶数时，an+1＝an+n，an+2＝an+1+n+2，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），故B正确；当n为奇数时，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣4）+⋯⋯+（a3﹣a1）+a1＝2（n﹣1）+2（n﹣3）⋯⋯+2（1+1）+0，当n为偶数时，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2 ﹣an﹣4）+⋯⋯+（a4﹣a2）+a2＝2（n﹣1）+2（n﹣3）+⋯⋯+2（2+1）+2，故C正确；数列{（﹣1）nan}的前2n项和S2n＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯⋯+（﹣a2n﹣1+a2n）＝2+4+6+⋯⋯+2n＝n（n+1）．故D正确；故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（0，）．【解答】解：抛物线的方程为y＝2x2，2则抛物线的标准方程为xy，即抛物线的焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．14．（5分）设点A（3，5），点B和C分别为直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为ͷ．【解答】解：∵点A（3，5），∴点A关于y轴的对称点为M（﹣3，5），设A（3，5）关于l的对称点为D（a，b），ͷ则，解得a＝5，b＝1，ͷ故D（5，1），∴|MC|＝|CA|，|AB|＝|BD|，∴△ABC的周长为|MC|+|CB|+|BD|， 当M，C，B，D共线时，△ABC的周长的值最小，此时△ABC的周长为|DM|䁖ͷ䁖ͷͷ．故答案为：ͷ．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则|A1G|＝．【解答】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，则A（，1，0），A1（，1，4），E（0，2，2），F（，，4），由题可设G（0，a，4），则（，1，2），（，，4），（，a﹣1，4），设平面AEF的一个法向量（x，y，z），൅ͷ则，令x，解得，൅൅ͷ故（，，），ͷͷ由3䁖0，解得a，ͷͷ则（，，0），∴||䁖䁖． 故答案为：．*16．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N，都有λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{c*n}满足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N），则该数列不是比等差数列；②若数列满足an﹣1n＝3•2，则该数列是比等差数列，且比公差λ＝0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．其中所有正确的序号是①②．【解答】解：①，∵cn＝cn﹣1+cn﹣2，∴常数，∴该数列不是比等差数列，故①正确；﹣②，若an1，则2﹣2＝0，故②正确；n＝3•2③，∵等比数列都有q﹣q＝0，∴等比数列一定是比等差数列，若等差数列为常数列且不为0，则1﹣1＝0，∴此等差数列是比等差数列，故③错误；④，如果{ann}是等差数列，{bn}是等比数列，设an＝n，bn＝3，䁖䁖䁖䁖则䁖䁖常数，不是比等差数列，故④错误；故答案为：①②．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知圆C的圆心在直线l1：y＝﹣x﹣1上，且经过A（0，﹣1），B（2，﹣1）两点．（1）求圆C的方程；（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．【解答】解：（1）线段AB的中点为（1，﹣1），直线AB的斜率为kAB0，所以线段AB的垂直平分线为x＝1， 由，解得，所以圆心为C（1，﹣2），半径为|AC|䁖䁖，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．（2）当直线l2的斜率不存在时，由，得y＝﹣1，或y＝﹣3，䁖䁖即直线x＝0与圆C相交所得弦长为﹣1﹣（﹣3）＝2，符合题意．当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，݇ͷ由于圆C到l2的距离1，所以1，解得k，݇ͷ所以yx+2，即15x+8y﹣16＝0，综上所述，直线l2的方程为x＝0或15x+8y﹣16＝0．218．（12分）已知函数f（x）＝2cosx．（1）求函数f（x）的单调增区间与值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面积为，求tanB的值．2【解答】解：（1）f（x）＝2cosxcos2x，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπx≤kπ，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，当2x＝2kπ，即x＝kπ，k∈Z时，f（x）max＝1，当2x＝2kπ+π，即x＝kπ，k∈Z时，f（x）min＝﹣1，则f（x）的值域为[，]；（2）f（A）＝0，∴cos2A0，∴cos2A，∵0＜A＜π，∴0＜2A＜2π，∴2A＝120°或240°，∴A＝60°或120°，又∵△ABC的面积为，∴bcsinA，∵b＝1，∴c＝2，当A＝60°时，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4﹣2，∴a，则△ABC为直角三角形，则tanB， 当A＝120°时，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4+2，∴a，在△ABC中，，∴sinB，则tanB．晦晦ͷ19．（12分）设首项为的数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Sn，求证：＜．2222参考公式：1+2+3+•s+nn（n+1）（2n+1）．【解答】解：（1）数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．则，又∴，∴，即数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，则䁖，则；（2）由（1）可得，则，䁖䁖䁖䁖䁖则䁖䁖，则，䁖䁖䁖䁖䁖则䁖䁖䁖䁖＜．䁖䁖䁖䁖20．（12分）已知双曲线．（1）过点N（1，4）的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；（2）直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A（x0，0），B（0，y0）两点．当点M运动时，求点P（x0，y0） 的轨迹方程，【解答】解：（1）设S（x1，y1），T（x2，y2），则，两式相减得，即，因为点N（1，4）是线段ST的中点，所以4×，即直线ST的斜率为1，所以直线ST的方程为y﹣4＝x﹣15，即y＝x+3．联立方程组得3x2﹣6x﹣25＝0，满足Δ＞0，故直线ST的方程为x﹣y+3＝0．222（2）联立方程组得（4﹣k）x﹣2kmx﹣（m+16）＝0，݇因为直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，݇±22∴，得m＝4（k﹣4），݇䁖݇䁖݇所以M的坐标为（，），其中km≠0，݇因为过点M且与l垂直的直线为y（x），݇݇令y＝0，得x0，令x＝0，y0，݇所以x02（4）＝100100+4y02，故点P（x0，y0）的轨迹方程为：（y≠0），ͷP的轨迹时焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10且不包含两个定点的双曲线．21．（12分）已知：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M为PD中点，PA＝AD＝1．（1）求证：平面MAC⊥平面PCD；（2）求点P到平面MAC的距离． 【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），∵M为PD的中点，∴䁖，，，所以䁖，，，䁖，，，䁖，，，所以，所以AM⊥CD，又点M为PD中点，PA＝AD＝1，所以AM⊥PD，∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PCD，又因为AM⊂平面MAC，故平面MAC⊥平面PCD；൅（2）解：设平面MAC的法向量为䁖，，൅，则，∴，令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，∴䁖，，，䁖，，，设点P到平面MAC的距离为d，∴，∴点P到平面MAC的距禽为．22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比 数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22【解答】解：（1）由离心率e，可得a＝2b，所以椭圆的方程为：1，将点A（，）代入椭圆的方程可得：1，解得b2＝1，所以椭圆的方程为y2＝1；（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），成联立，整理可得：（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，222222成成Δ＝4mt﹣4（2+m）（t﹣2）＞0，即t＜2+m，且y1+y2，y1y2，x1+x2成＝m（y1+y2）+2t，成成因为四边形OMPN为平行四边，OP与MN互相平分，所以P（，），成䁖成2因为P在椭圆上，则（）＝1，整理可得：4t2＝2+m2，①2又因为直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，即•，即m，䁖成䁖成成成䁖成成而m2+mt•m2，成成成可得2t2＝m2t2，②由①②可得：m2＝2，t2＝1，符合Δ＞0，可得m＝±，t＝±1，所以直线l的方程为：x±y﹣1＝0或x±1＝0．