重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

重庆市第十八中学2023-2024学年（上）12月能力摸底高一数学试题考试说明：1.考试时间：120分钟2.试题总分：150分3.试卷页数：2页一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合中元素的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据，求得的所有取值，从而得解.【详解】因为集合，，当时，；当时，的取值为；当时，的取值为；所以，则中元素的个数是.故选：C.2.已知，下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】举反例排除ACD，利用作差法判断B.【详解】因为，则，对于A，取，则，故A错误；对于B，，则，故B正确；对于C，取，则，故C错误；对于D，当时，，故D错误. 故选：B.3.函数的零点所在区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间即可得解.【详解】因为的定义域为，而在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又，，所以的零点所在区间是.故选：C.4.设，，，则a，b，c三个数的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为，，，所以.故选：A.5.函数在区间上的图象大致为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的奇偶性，可判断AB错误；再取特殊值可判断D错误.【详解】因为，则，即为偶函数，其函数图象关于轴对称，据此可知选项AB错误；且当时，，据此可知选项D错误.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数特征点，排除不合要求的图象.6.已知函数，对任意的，，且时，满足 ，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得函数在区间上为增函数，结合二次函数，对数函数和复合函数的性质即可得解.【详解】因为对任意的、，且时，满足，所以函数在区间上为增函数.内函数开口向上，对称轴为，若，则函数在区间上不单调，不合乎题意；若，则函数在区间上为增函数，所以外函数为增函数，故，解得.故选：C.7.已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解.【详解】因为函数在上单调递增， 由，，所以且，解得且，所以；又因为在区间上只取得一次最大值，即时，；所以，解得；综上，，即的取值范围是．故选：D.8.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知奇偶性质得到的周期性，再由与求得待定系数，从而利用周期性与条件得，代入解析式即可得解.【详解】由为奇函数，得，故，由为偶函数，得，所以，即，则，故的周期为，所以，由，令，得，即，令，得， 由，令，得，因为，所以，即，所以，联立，解得，故时，，由，令，得，所以.故选：D.【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.，B.，C.，是的充分条件D.的必要条件是【答案】ACD【解析】【分析】利用量词命题的真假性与充分必要条件的定义，结合对数方程及不等式的性质，逐一分析判断即可得解.【详解】对于A，由，得，故A正确；对于B，当时，不成立，故B错误；对于C，当，时，显然成立， 所以，是的充分条件，故C正确；对于D，当时，且，即且，所以的必要条件是，故D正确.故选：ACD.10.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，从而得解.【详解】因为最小正周期为，当时，，所以它在上单调递增，故A错误；因为最小正周期为，当时，，所以在区间上单调递减，故B正确；因为最小正周期为，在区间上单调递减，故C正确；不是周期函数，故D错误；故选：BC.11.已知，，则下列结论正确是（）A.为第二象限角B.C.D.【答案】ABD【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合齐次式法计算求解即可判断各选项.【详解】因为，所以，联立，解得，，因为，所以是第二象限角，故AB正确；所以，故C错误，则，故D正确.故选：ABD.12.若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以，由于，所以恒成立，故A错误；对于B，因为函数的定义域为，取，，则， 则，所以成立，故B正确；对于C，假设具有性质，则存在，使得，则，即，若同号，则，即，所以，得，显然不成立；若异号，则，即，将上述方程看作关于的二次方程，解得，此时满足，故C正确；对于D，因为函数的定义域为，又，故为奇函数，取，则，所以，，所以成立，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质的定义，结合函数的性质即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为______.【答案】【解析】 【分析】利用扇形周长与弧长公式列式求得，再利用扇形面积公式即可得解.【详解】依题意，设扇形的半径为，弧长为，则，解得，由扇形面积公式可得扇形面积.故答案为：.14.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】利用对数复合函数与根式函数的定义域，结合正弦不等式与二次不等式的解法即可得解.【详解】因为，所以，对于，即，解得，对于，即，解得，综上，，即函数的定义域为.故答案为：.15.已知，，且，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为，，，所以，则， 所以，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.故答案为：.16.设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解.【详解】作出函数的图象如图，令，函数恰好有五个零点．则方程化为，则必有两个不同实根，则， 结合图形可知，则必不为，故方程的一根在区间内，另一根在区间内，令，则，解得：，综上：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.【小问1详解】因为，所以或，当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得，综上：，即a的取值范围为.18已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数基本关系式运算得解；（2）由题可得，又，，结合诱导公式可计算得，，结合平方关系代入运算得解.【小问1详解】.【小问2详解】由，即得，又，，又， ，.19.已知函数.（1）证明：函数在区间上单调递增；（2）判断函数的奇偶性；（不需要证明）（3）若时，记函数的最大值为，求.【答案】（1）证明见解析（2）为偶函数（3）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；（2）利用函数奇偶性定义即可判断；（3）利用的单调性与对称性，分类讨论即可得解.【小问1详解】任取，且，则，因为，所以，，所以，，所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递增.【小问2详解】因为的定义域为，又，所以函数为偶函数.【小问3详解】因为函数在区间上单调递增，数为偶函数，所以函数在区间上单调递减，所以当时，当时，函数取得最大值，即，当时，当时，函数取得最大值，，所以.20.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，不等式化简为，从而得解；（2）问题等价于，转化为求两个函数的最小值，进而得解.【小问1详解】因为，，当时，由，得，所以，即，解得， 故原不等式的解集为.【小问2详解】因为对任意的，存在，不等式成立，所以当，时，，当时，单调递增，所以，又函数开口向下，对称轴为，由于，当，即时，，所以由，得，解得，此时；当，即时，，所以由，得，解得，此时；综上，，则实数的取值范围为.21.已知函数.（1）求函数在上的单调递减区间；（2）若在区间上恰有两个零点，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解；（2）利用三角函数的对称性得到，由题设条件得到，从而利用诱导公式即可得解.【小问1详解】 对于，令，解得，因为，当时，；当时，；所以在上的单调递减区间为.【小问2详解】因为在区间上恰有2个零点，所以在有两个根，令，解得，所以当时，函数图像的对称轴为，所以，则，又，则，所以.22.设函数，其中.（1）当时，求函数的零点；（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点. （2）分类讨论的取值范围，去掉绝对值后将问题转化为求二次函数最小值问题，结合二次函数的性质，得到关于的不等式，解之即可得解.【小问1详解】因为，当时，，当时，令，即，此时方程，无实数解；当时，令，即，解得；综上，的零点为，.【小问2详解】因为，对任意，恒有，当时，，显然恒有，满足题意；当时，，此时，（i）当，即时，，则，解得，故；（ii）当，即时，在上单调递减，所以，解得，故；所以当时，恒有；当时，，①当时，，因为，所以在上单调递增， 所以，解得，故；②当时，，因为，所以在上单调递增，所以，显然成立，故；所以当时，恒有；当时，，此时，因为，所以在上单调递增，所以，解得，故；综上，，即实数a的取值范围为.