云南省大理州民族中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考高一数学考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.2.函数的图像关于（）A.轴对称B.直线对称C.坐标原点对称D.直线对称3.下列角中，与角终边相同的角是（）A.B.C.D.4.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.5.已知集合，，则（）A.B.C.D.6.已知函数，，的图象如图所示，则（）A.B.C.D.7.扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品. 扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（）图1图2A.B.C.D.8.若，则实数的取值范围是（）AB.或C.D.或二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下面说法正确的有（）A.化成弧度是；B.终边在直线上的角的取值集合可表示为；C.角为第四象限角的充要条件是；D.若角的终边上一点的坐标为，则.10.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是2B.的最大值是1C.的最小值是4D.的最大值是11.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充分不必要条件 D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件12.已知函数，下列结论不正确的是（    ）A.若，则B.C.若，则或D.若方程有两个不同实数根，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调递增区间是__________14.若角的终边过点，则的值是______.15.已知是定义在上的奇函数，且时，，则___________.16.若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求方程的解集.19.已知对数函数的图象经过点.（1）求不等式解集；（2）已知函数的反函数为，，求在上的最大值和最小值. 20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.21.塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？22.已知.（1）若的值域为，求实数的取值范围；（2）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考高一数学考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】由题意可知，即A错误，B正确；若，即C、D错误.故选：B2.函数的图像关于（）A.轴对称B.直线对称C.坐标原点对称D.直线对称【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称.故选：C3.下列角中，与角终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.【详解】与角终边相同的角是，令，得.故选：C4.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：B.5.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，所以，而集合，所以，故选：D 6.已知函数，，的图象如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.【详解】由图象可知：，.故选：C.7.扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（）图1图2A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.【详解】依题意，， 所以，所以该折扇的扇面的面积为.故选：D8.若，则实数的取值范围是（）A.B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】将不等式化成同底，即可得答案；【详解】，或解得：或，故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下面说法正确的有（）A.化成弧度是；B.终边在直线上的角的取值集合可表示为；C.角为第四象限角的充要条件是；D.若角的终边上一点的坐标为，则.【答案】AD【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D. 【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；易知第四象限角余弦为正数，故C错误；由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.故选：AD10.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是2B.的最大值是1C.的最小值是4D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值是2，故A正确；因为，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值是1，故B正确；，当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误；因为，当且仅当，即时等号成立，即的最大值是，故D正确，故选:ABD.11.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】写出全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD.【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定为：，，A错误；对于B，显然成立，必有成立，即是的充分条件，B错误；对于C，当时，成立，反之，当时，不一定成立，如，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；对于D，当时，方程中，，方程有两个不等实根，有，因此一正一负，反之，方程两根一正一负，则，此时，因此“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，D正确.故选：CD12.已知函数，下列结论不正确的是（    ）A.若，则 B.C.若，则或D.若方程有两个不同的实数根，则【答案】ABC【解析】【分析】选项A分情况代入的值讨论即可；选项B直接把代入分段函数求值；选项C分情况讨论；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：，，故选项不正确；对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调递增区间是__________【答案】【解析】【分析】根据二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调的判定方法，即可求解.【详解】设，即，可得函数的图象表示开口向下，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，在上单调递减， 又由函数在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数单调递增区间为.故答案为：.14.若角的终边过点，则的值是______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，由三角函数的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为角的终边过点，则.故答案为：15.已知是定义在上的奇函数，且时，，则___________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即有．故答案为：．16.若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数，即可得到结果. 【详解】，设，，令在上单调递减，故.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】17.318.4【解析】【分析】（1）按照指数幂的运算性质及对数运算性质进行运算即可；（2）按照对数运算性质及换底公式进行运算即可.【小问1详解】原式【小问2详解】原式.. 18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求方程的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当，则，利用题中条件即可求得的表达式，最后写成分段函数的形式；（2）令，则，利用建立方程解出后，再解关于的方程即可.【小问1详解】设，则因为是定义在上的偶函数，则所以【小问2详解】令，则因为是定义在上的偶函数，所以所以或（不合题意，舍去）∴或∴或所以方程的解集为.19.已知对数函数的图象经过点.（1）求不等式的解集；（2）已知函数的反函数为，，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由待定系数法求出，解对数不等式即可.（2）运用换元法将问题转化为求，的最值即可.【小问1详解】设（且），则，所以，所以，由可得，即，即，解得.所以不等式的解集为.【小问2详解】依题知，，故，令，则，又因为，所以，所以，即，，所以当时，；当时，.所以在上的最大值为3，最小值为.20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）本题可根据求出的解析式；（2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论；（3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为函数是奇函数，所以，即，解得，（2）在上任取、，且，则，因为，，，，所以，，在区间上是减函数.（3）因为是定义在上的奇函数和减函数，所以即，， 则，解得，不等式的解集为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.21.塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？【答案】（1）144年（2）26年【解析】【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.【小问1详解】由题可知，所以，所以，解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.【小问2详解】根据题意当时，，，，若残留量不超过初始量的，则，即 两边取常用对数，解得，所以至少需要26年.22.已知.（1）若值域为，求实数的取值范围；（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为，从而得解；（2）将问题转化为的值域是的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解.【小问1详解】依题意，函数的值域为，设，可得，解得或，故的取值范围是.【小问2详解】若，则，因为，其开口向上，对称轴为，所以当时，的最小值为8，当时，取得最大值为，且在定义域内单调递增，可得在上的最小值为，最大值为，即函数的值域是.因为对任意，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集.当时，在上单调递增，所以，则，解得；当时，在上单调递减，所以，则，解得；当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围.