天津市耀华中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

天津市耀华中学2023-2024学年度第一学期学情调研高一年级数学学科试卷一、选择题(本题共有16个小题，每小题3分，共48分.每个小题只有一个正确选项，请将答案涂在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)1.函数的零点的个数为（）A.0B.1C.2D.32.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数值域为（）A.B.C.D.4.已知的值域为R，那么a的取值范围是()A.(﹣∞，﹣1]B.(﹣1，)C.[﹣1，)D.(0，1)5.化简的值为（）A.1B.2C.4D.66.函数的单调递增区间为（）AB.C.D.7.已知，，，比较a，b，c的大小为（）AB.C.D.8.若角满足，，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）AB.C.D.10.函数的零点所在的大致区间是（） A.B.C.D.11.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.13.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）14.若，则（）A.B.C.D.15.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.16.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4二、填空题(本题共有8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)17.若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______.18.已知，则___________.19.___________20.已知，且，则______.21.已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.22.若函数的值域为R，则实数a的范围是_______.23.已知函数且)在区间上单调递增，则a的取值范围是_______.24.已知，若方程有四个根，且，则的取值范围是________.三、解答题(本题共2道小题，每小题10分，共20分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.将答案填写在答题纸相应位置上，答在试卷上的无效)25.已知函数为偶函数．（1）求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．26.已知定义在R上的函数 （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 天津市耀华中学2023-2024学年度第一学期学情调研高一年级数学学科试卷一、选择题(本题共有16个小题，每小题3分，共48分.每个小题只有一个正确选项，请将答案涂在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)1.函数的零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用函数单调性及零点存在性定理即得.【详解】由于函数在上是增函数，且，故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论.【详解】根据题意由可得，则，即充分性成立，若可得，此时或，显然必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件,故选：A3.函数值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果.【详解】，，，∴函数的值域为.故选：A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.4.已知的值域为R，那么a的取值范围是()A.(﹣∞，﹣1]B.(﹣1，)C.[﹣1，)D.(0，1)【答案】C【解析】【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.故选：C.5.化简的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式， 故选：B6.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，由复合函数单调性求出答案.【详解】函数的定义域为．令，其中在上单调递减，在上单调递增．为单调递增函数，的单调递增区间为．故选：C7.已知，，，比较a，b，c的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以，又，所以；又因为函数在上单调递增，所以，所以.综上，.故选：C8.若角满足，，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据可知 是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】，是第二或第四象限角；当是第二象限角时，，，满足；当是第四象限角时，，，则，不合题意；综上所述：是第二象限角.故选：B.9.已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，由扇形的面积公式,得，解得，由弧长公式，故选：B10.函数的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C 11.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的图象与函数的图象关于轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.12.已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点，则实数a的取值范围是，故选：A13.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.14.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.15.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.16.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【详解】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.二、填空题(本题共有8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)17.若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______.【答案】##【解析】【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可． 详解】，，故答案为：.18.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故答案为：.19.___________【答案】11【解析】【分析】根据指对运算公式求解.【详解】故答案为：1120.已知，且，则______.【答案】【解析】 【分析】由题意，求出，进而根据角的范围判断出的符号，最后得到答案.【详解】由题意，，因为，所以，则，所以.故答案为：.21.已知函数.若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围.【详解】画出的图象如下图所示，，即与的图象有两个交点，由图可知，的取值范围是.故答案为：22.若函数的值域为R，则实数a的范围是_______.【答案】[0，4] 【解析】【分析】函数的值域为R，故函数的值要取遍中的每一个数，由此解决问题.【详解】解：因为函数的值域为R，所以函数值要取遍中的每一个数，故当时，，满足题意，当时，则，解得，综上：.故答案为：.23.已知函数且)在区间上单调递增，则a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分与讨论，结合复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】令，其中，则，当时，在单调递增，可得在上单调递增，则，解得，又，所以；当时，在单调递减，可得在上单调递减， 则，解得，所以；综上所述，a的取值范围是.故答案为：24.已知，若方程有四个根，且，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果.【详解】解：因为方程有四个根，故函数的图象与函数的图象有四个交点，它们的横坐标分别为，如图所示，当时，，且，故，当时，，且， 所以，解得，因为函数的图象与函数的图象有四个交点，由图可得，，故，所以，令，，在单调递增，所以，，故的取值范围是.故答案为：.三、解答题(本题共2道小题，每小题10分，共20分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.将答案填写在答题纸相应位置上，答在试卷上的无效)25.已知函数为偶函数．（1）求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为函数为偶函数，则，即， 所以，，.【小问2详解】解：，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故.26.已知定义在R上的函数（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据解析式可得函数在R上单调递增，解不等式可得在R上恒成立，分离参数利用基本不等式即可求出实数a取值范围；（2）根据题意可知需满足在上的最小值不限于在上的最小值，对参数进行分类讨论解不等式即可求得结果.【小问1详解】由函数和都为R上的单调递增函数可知，函数在R上单调递增，由可得不等式恒成立， 即，可得对于恒成立，所以;又，当且仅当，即时等号成立；所以，即可得实数a取值范围是.【小问2详解】对任意的可得，依题意可知即可，且关于对称，若时，即，则，解得，所以可得；若，即，则，解得，可得；若，即，则，解得，所以可得；综上可知，实数的取值范围是.