江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期高一年级阶段检测（三）数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件选择见解析3.已知，则的最小值是（）.A.3B.C.D.9 4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）A.-3B.1C.3D.1或-35.若，则（）A.B.C.D.6.已知，则的值是（）A.B.C.D.7.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数，若不等式对任意均成立，则 的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若角的终边上有一点，则的值可以是（）A.B.C.D.10.若是第二象限的角，则下列各式中成立的是（）A.B.C.D.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，为偶函数；B.存在实数，使得为奇函数；C.当时，取得最小值；D.方程可能有三个实数根.12.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法中正确的是（）A.B.是奇函数C.若，则D.若当时，，则在单调递减三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知函数，则的单调减区间为__________.14.数学中处处存在着美，机械学家莱洛泼现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段长为2，则莱洛三角形的面积是__________.15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是__________.16.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待__________.分钟（参考数据：.）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合.（1）求集合；（2）若是成立的__________条件，判断实数是否存在？18.（本小题满分12分）（1）计算： （2）若，求和的值.19.（本小题满分12分）已知函数.（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若且，求的最小值.20.（本小题满分12分）某地种植了一种水果，据调查，该水果每斤的售价为25元时，年销售量为8万斤.（1）经过市场调研，价格每提高1元，销售量将相应的减少0.2万斤，若每斤的定价为元，求每年的销售总收入的表达式.（2）在（1）的条件下，若使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入的，则该水果每斤的定价最高应为多少元？（3）该地为提高年销售量，决定2023年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到每斤元，拟投入万元作为改良费用.请预测改良后，该水果2024年的销售量至少应达到多少万斤，才可能使2024年的年销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，并求出此时水果每斤的定价.21.（本小题满分12分）已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若函数，且在区间上为增函数，求的取值范围.22.（本小题满分12分）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当.（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：在上是减函数； （3）解不等式：；（4）求证：. 2023-2024学年度第一学期高一年级阶段检测（三）数学-参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】AC【详解】函数，定义域为，当时，为偶函数，故A正确；当时，由，则，函数不可能为奇函数，故B错误；当时，时，函数单调递增，所以最小值为时，函数单调递减，所以，所以函数的最小值为，故C正确；若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，所以方程不可能有三个实数根，错误.故选：AC.12.【答案】ABD【详解】因为， 所以令，得，故A正确；令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；令，得，又，所以，故C错误；当时，由，可得，又，，在上任取，不妨设，，，故在单调递减，故D正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】6分钟【详解】根据题意可知，因为茶水降至大约用时一分钟，即， 所以，解得，则，所以要使得该茶降至，即，则有，得，故，所以大约需要等待6分钟.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】解：（1）由得，故集合，由得，故集合.（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是.若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是.若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，则有，方程组无解.所以，不存在满足条件的实数.18.【答案】（1）；（2）-1.【详解】解：（1）原式； （2），.原式19.【答案】（1）（2）6【详解】（1）由题设知且的两根为所以，可得：可化为：，解得：，所以不等式的解集为（2）且所以当且仅当即取“=”所以的最小值为6.20.【答案】（1）（2）35（3）11万斤，定价为40元.【详解】（1）设每斤的定价为元，则销售量为（万斤），故每年的销售总收入.（2）依题意得，整理得，解得.故要使年销售的总收入不低于原收入的，则该水果每斤定价最高为35元.（3）依题意知不等式成立，所以， 即有解.因为，当且仅当，即时，等号成立，则.故当该水果2024年的销售量至少达到11万斤时，才可能使2024年的销售收入不低于改良前的年收入与改良费用之和，此时水果每斤的定价为40元.21.【答案】（1）（2）【详解】（1）由是偶函数可得，则，即所以恒成立，故.（2）由（1）得，所以，令，则.为使为单调增函数，则①时显然满足题意；②；③.综上：的范围为. 22.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）（4）证明见解析【详解】（1）令，则，解得：；令，则，为定义在上的奇函数.（2）设，则；；又，，又当，，即在上是减函数.（3）由得：；定义域为且在上是减函数，解得：不等式的解集为. （4）；，，