山东省实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

山东省实验中学2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1为第1页至第2页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.2.命题“都有”的否定是（）A.不存在B.存在C.存在D.对任意的3.下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（）A.B. C.D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数，则的值等于（）A.11B.2C.5D.6.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.7.已知实数，函数，若，则的值为（）A.1B.C.-1D.28.已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若则以下结论正确的是（）A.B.C.D.10.设正实数、满足，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最小值D.有最大值 11.若定义域为R函数满足为奇函数，且对任意，，已知恒成立，则下列正确的是（）A.的图象关于点对称B.在R上是增函数C.D.关于x不等式的解集为12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（）A.B.的值域为C.在上单调递减D.函数为偶函数第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合，且，则m的值为________．14.函数的定义域为______．15.函数是上的单调减函数，则实数的取值范围为__________.16.设是定义在R上奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合，（1）时，求；（2）若，求实数的取值范围.18.已知幂函数，且函数在上单增 （1）函数解析式；（2）若，求实数的取值范围.19.已知函数，且，（1）求解析式；（2）判断并证明函数在区间的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？（2）如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.22.已知函数是定义域在上的奇函数，当时，.（1）当时，求函数的解析式；（2）若函数为上的单调函数.且对任意的，恒成立，求实数的范围. 山东省实验中学2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1为第1页至第2页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.故选：B2.命题“都有”的否定是（）A.不存在B.存在C.存在D.对任意的【答案】B【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在.故选：B3.下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；故选：．4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时成立，时如，则，因此只能是充分不必要条件，故选：A．5.已知函数，则的值等于（）A.11B.2C.5D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，令求出x即可计算作答.【详解】函数，令，得，所以.故选：C6.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故选：D.7.已知实数，函数，若，则的值为（）A.1B.C.-1D.2【答案】B【解析】【分析】对进行分类讨论，分别确定与的范围，代入相应的函数解析式，再利用 即可求解.【详解】当时，有，，又因为，所以，解得：，又，所以舍去；当时，有，，又因为，所以，解得：.故选：B.8.已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A【解析】【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得.【详解】依题意，的值域为，且的解集为，故函数的开口向下，，则方程的两根为或，则，，即，则，当时，取得最大值为，即，解得：.故选：A. 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若则以下结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】对于AB，可利用不等式的性质直接判断；对于CD，可赋值判断.【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确；对于B，因为，则有，所以，故B正确；对于C，因为，若，，，则，，此时，故C错误；对于D，因为，若，，，则，，此时，故D错误.故选：AB.10.设正实数、满足，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最小值D.有最大值【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数、满足.对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得 ，当且仅当时，等号成立，B选项错误；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，，则，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R函数满足为奇函数，且对任意，，已知恒成立，则下列正确的是（）A.的图象关于点对称B.在R上是增函数C.D.关于x的不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案． 【详解】由为奇函数，得，即，因此的图象关于点对称，由任意，，恒成立，得函数在上单调递增，于是在R上单调递增，B正确；显然，即的图象关于点不对称，A错误；对C，由，得，C错误；对D，由于在R上单调递增，，则，即不等式的解集为，D正确．故选：BD12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（）A.B.的值域为C.在上单调递减D.函数为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判断A、B、C，再求出的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由，解得，，所以，故A错误；当时，且在上单调递减，在上单调递增，，， 所以，即的值域为，故B、C正确；因为，则的图象如下所示：由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确；故选：BCD第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合，且，则m的值为________．【答案】或##3或1【解析】【分析】根据题意得到，，解方程再验证得到答案.【详解】，，当时，，此时，满足条件；当时，，时，不满足互异性，排除；时，，满足条件. 综上所述：或.故答案为：或.14.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数，则等价于，解得，所以函数的定义域为.故答案：15.函数是上的单调减函数，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数的取值范围.【详解】函数是上的单调减函数，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：．16.设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________. 【答案】【解析】【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.【详解】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，由对任意的，，，满足：，可得在上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，且，不等式，即为，即，可得或，即或解得或.故答案为：.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合，（1）时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入求集合，根据交集的定义即可得解； （2），即，分和两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若，则，又，所以；【小问2详解】解：因为，所以，当时，则，解得，此时，符合题意，当时，则，解得，综上所述，所以若，m的取值范围为.18.已知幂函数，且函数在上单增（1）函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）幂函数，有，再由函数在上单调递增，解出的值，得函数的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】 为幂函数，则有，解得或，时，，在上单调递增，符合题意；时，，在上单调递减，不合题意；所以.【小问2详解】，函数定义域为R，，函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，若，有，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数，且，（1）求解析式；（2）判断并证明函数在区间的单调性.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得，，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为，，所以，，解得：，，所以函数解析式为：.【小问2详解】函数在区间上单调递增，证明如下： 由（1）知，取任意、，令，则因为，所以，又，则，，所以，则，所以，即，所以，即函数在区间上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？（2）如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金g放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金g放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为，右臂长为，且，先称得黄金为g，后称得黄金为g，则，则，所以当且仅当，即时取等号，由，所以顾客购得的黄金是大于【小问2详解】由（1）再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金g放在右盘使之平衡，则此时有，此时有，所以三次黄金质量总和为：，当且仅当，即所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比.21.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合；（2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】解：由，都有不等式成立，得在时恒成立，所以，因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，，所以，.【小问2详解】解：由可得.①当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，此时，；②当时，可得或，因为是充分条件，则，则，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.22.已知函数是定义域在上的奇函数，当时，.（1）当时，求函数的解析式；（2）若函数为上的单调函数.且对任意的，恒成立，求实数的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和时的解析式，即可得出时的解析式，进而得出答案；（2）由的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数的范围． 小问1详解】函数是定义域在上的奇函数，，当时，．当时，有，．所以．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由在上单调递减，故函数为单调递减函数，由，可得，故，即，又注意到，结合，知，得：．令，其中，任取，故，因，则，，，故，即，所以在上单调递增，得．又令，则转化为，其中． 要使式子成立，需小于的最小值．又注意到函数与函数均在上单调递增，则函数在上单调递增．故，得，则的范围为．