北京交通大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

北京交大附中2023—2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“，”的否定为A.，B.，C.，D.，3.已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（）A.BC.D.4.已知函数，则的值为（）A.3B.0C.D.5.已知，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（）A.B.C.D.7.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（） A.B.C.D.8.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.12B.C.13D.9.已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.10.对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是()A.若则B.CD.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数定义域为__________．12.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为,，则的解集为________.13.定义在上的函数，给出下列三个论断：①在上单调递增；②；③.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价 不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.15设函数.给出下列四个结论：①函数的值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若，求实数a的取值范围.17.已知函数.（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；（2）求函数在区间上的值域.18.已知二次函数最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，确定实数m的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8 万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．20.已知是定义域为的函数，若对任意，，均有，则称是S关联.（1）判断和证明函数是否是关联?是否是关联?（2）若是关联，当时，，解不等式：. 北京交大附中2023—2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故选：D.2.命题“，”的否定为A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“，”的否定为“，”.故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有，解得.故选：C4.已知函数，则的值为（）A.3B.0C.D.【答案】D【解析】【分析】先求，进而求出.【详解】由题意得，，则.故选：D.5.已知，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.所以，当时，一定成立，故充分性成立；当即或时，不一定成立，故必要性不成立.综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A，当时，，所以不是奇函数，故A错误；对于B，因为的定义域为，又，所以为奇函数，因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为的定义域为，又，所以为偶函数，故C错误.对于D，因为的定义域为，又，所以为偶函数，故D错误.故选：B.7.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由数轴知，不妨取检验选项得解.【详解】由数轴知，不妨取，对于A，，不成立.对于B，，不成立. 对于C，，不成立.对于D，，因此成立.故选：D．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.12B.C.13D.【答案】C【解析】【分析】根据为上的奇函数，求出.【详解】因为为上的奇函数，所以，，所以.故选：C9.已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将参数与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围.【详解】根据题意当时，不等式恒成立，则恒成立，只需即可；易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号；所以，即，所以实数m的取值范围是.故选：A 10.对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是()A.若则B.CD.【答案】D【解析】【分析】根据逐项分析,即可求得答案.【详解】对于A,,分类讨论：①当,则此时②当且,即,此时，③当且,即时,,此时综合所述,有,故A正确;对于B,,故(2)正确；对于C,,故C正确; 对于D,,故D错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【详解】依题意，.12.如图，函数图象是折线段，其中的坐标分别为,，则的解集为________.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在上的函数，给出下列三个论断：①在上单调递增；②；③.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上） 【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当在单调递增且当时，有，得证.①③推出②；证明：当在单调递增且当时，有，得证.①②无法推出③；取，此时满足且，但不满足在单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为立方米，水价为元，则，整理得到：，当时，；时，；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令，则（立方米），故答案为：.15.设函数.给出下列四个结论：①函数值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为与有交点，作出图2即可判断；对于④，结合图1对进行分析即可.【详解】对于①，因为，所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由的图像易知的值域是，故①正确； 对于②，易得，，显然在上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；对于③，假设存在，，则，即，即与有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；对于④，由图1易知，则，因为，所以，即，解得，所以，即的取值范围是，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】因为，所以，则，所以，因为，所以，解得，所以【小问2详解】因为，因为恒成立，所以，所以，解得，故a取值范围为.17.已知函数.（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来判断单调性；（2）由函数在区间上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取，且，则，因为，，所以，，，所以，即， 所以在上是增函数.【小问2详解】由（1）知在区间上单调递增，所以，，所以函数在区间上的值域为.18.已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，确定实数m的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数，，∵，∴，解得：，∴，.【小问2详解】解：∵在区间上，的图象恒在的图象上方，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则在区间上恒成立， ∴，∵函数图象的对称轴为，开口向上，∴函数在区间上单调递减，∴，则，∴实数m的取值范围是.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．【答案】（1），（）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，则，解得，显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：（）.【小问2详解】由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元． 20.已知是定义域为的函数，若对任意，，均有，则称是S关联.（1）判断和证明函数是否是关联?是否是关联?（2）若是关联，当时，，解不等式：.【答案】（1）是关联，不是关联（2）【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数满足的性质，再结合时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取，若，则所以是关联；若，则，所以不是关联.【小问2详解】由题意知，当时，，即，由于当时，，所以画出的图像如图， 当时，令得，令得或，结合图像求出点，，所以当时，，即不等式的解集为.