黑龙江省大庆实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附答案）

大庆实验中学实验一部2023级高一上学期期中考试数学学科试题2023.11.28-2023.11.29说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内；2．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（共8道小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，3.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）AB.C.D.5.已知，则（）A.B.C.0D.46.若幂函数的图象过点，则的值域为（）A.B.C.D.7.已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（）A.B. C.D.8.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（共4道小题，每小题5分，共20分）9.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（）A.，B.，C，D.，10.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（）A.当一所公寓窗户面积与地板面积总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差D.若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变11.设正实数，满足，则（）A.的最大值为B.的最小值为9C.的最小值为1D.的最大值是12.已知函数，函数，则下列结论正确的是（）A.存，使得没有零点B.若，则有个零点C.若，则有个零点 D.若有个零点，则的取值范围为三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.函数的定义域为________．14.已知为上的偶函数，当时，，则______．15.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则______．16.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每道题12分．共70分）17.已知全集，集合，集合．（1）求集合；（2）若集合，且，求实数取值范围．18.已知函数，．（1）若不等式的解集为，求实数的值：（2）当时，解关于的不等式．19.已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．20.已知函数，（1）解不等式；（2）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围21.已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数，的值：（2）试判断函数的单调性并用单调性的定义证明；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 大庆实验中学实验一部2023级高一上学期期中考试数学学科试题2023.11.28-2023.11.29说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内；2．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（共8道小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.【详解】因为合，，则，因此，.故选：C2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B.3.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，则，即，可得，，，所以，函数的零点所在的区间是.故选：B.4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】设，则要使在区间上单调递增，由复合函数单调性可得：满足，即，得a，即实数a的取值范围是.故选：D5.已知，则（） A.B.C.0D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意先求的值，然后再求的值.【详解】因为，，所以..故选：A.6.若幂函数的图象过点，则的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】由题意可得，可得，则，令，可得，则，令，其中，则，当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.故选：A.7.已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式 的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数，得，函数在上单调递增，由，得，得，即可求解.【详解】解：因为函数是定义在区间上的偶函数，所以，又函数在上单调递减，即函数在上单调递减，得函数在上单调递增，由，得，得，得，得，则则不等式的解集是：.故选：B.8.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得 转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①，所以，②，①②两式联立可得，.由可得，可得，令，其中，任取、且，则，所以，，当时，则，则，则，当时，则，则，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，又因为，，则，令，则，则，因函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为.故选：C.二、多项选择题（共4道小题，每小题5分，共20分）9.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（）A.，B.，C.，D.，【答案】AD【解析】【分析】求出的值域，根据“同象函数”的定义逐项判断可得答案.【详解】函数的值域为，对于A，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故A正确；对于B，函数，，所以函数，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故B错误；对于C，函数，，所以，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故C错误；对于D，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故D正确.故选：AD.10.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（）A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差 D.若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变【答案】ABD【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.【详解】对于A，该公寓窗户面积为x，则地板面积为，所以，解得，所以这所公寓的窗户面积至少应该为，A正确；对于B，若窗户面积a和地板面积b,同时增加相同面积c，由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，则，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好，B正确；对于C，设窗户面积a和地板面积b,增加的地板面积，增加窗户面积，由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，则，其中的值是否大于0无法判断，所以的大小无法判断，即无法判断公寓采光效果是否会变差，C错误；对于D，设窗户面积a和地板面积b,若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中则窗户增加，地板增加，所以增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，所以公寓采光效果不变，故D正确；故选：ABD11.设正实数，满足，则（） A.的最大值为B.的最小值为9C.的最小值为1D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对于C，因为，当且仅当，即，时等号成立，所以C错误；对于D，，∴的最大值为，当且仅当，即，时等号成立，D正确.故选：ABD.12.已知函数，函数，则下列结论正确的是（）A.存在，使得没有零点B.若，则有个零点C.若，则有个零点D.若有个零点，则的取值范围为 【答案】BCD【解析】【分析】画出的简图，令，则，令，则，然后结合图象，分，，，，和六种情况讨论函数的零点即可.【详解】令，解得或；令，解得或或．根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示．令，则，令，则．当时，只有1解，且，此时只有解，所以只有个零点．当时，有解，即或．有解；有解．所以有个零点．当时，有3解．当时，只有1解；当时，有解；当时，有解．所以有个零点．当时，有3解，即或1或3．只有1解；有2解；有3解．所以有6个零点．当时，有2解．当时，有2解；当时，有3解．所以有5个零点．当时，只有1解有2解，所以有2个零点． 当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有个零点．综上所述，对任意的，都有零点，A错，若，则有个零点，B对，若，则有个零点，C对，若有个零点，则的取值范围为，D对，故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.【详解】要使函数有意义，只需，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知为上的偶函数，当时，，则______．【答案】【解析】【分析】利用偶函数的基本性质可求得的值. 【详解】因为为上的偶函数，当时，，则.故答案为：.15.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则______．【答案】48【解析】【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称，函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称，与的图象的8个交点，也两两关于点对称，则.故答案为：4816.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意确定，考虑、两种情况，根据函数的单调性得到关于实数的不等式，即可得解.【详解】因为当时，，要使得函数的值域为，必须满足当时，函数单调递增，故.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，， 而当时，，所以，，可得，解得或，此时，；当时，函数在上为增函数，则，所以，，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每道题12分．共70分）17.已知全集，集合，集合．（1）求集合；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解出集合，利用交集的定义可求得集合；（2）由题意可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.【小问1详解】解不等式可得，解得或，故，又因为，故.【小问2详解】显然，因，则，解得，所以，实数取值范围是.18.已知函数，． （1）若不等式的解集为，求实数的值：（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分析可知，方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合二次不等式的解法可出原不等式的解集.【小问1详解】解：因为不等式的解集为，所以，方程的两根分别为、，且，可得，所以，，解得.【小问2详解】解：因为，不等式即为方程两根为，，①当，即时，原不等式为，该不等式的解集为；②当时，即时，解原不等式可得或；③当时，即时，解原不等式可得或.综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.19.已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的最大值；（2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可.【小问1详解】因为，令，可得，所以当且仅当，即时，函数取到最大值1．【小问2详解】由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6，所以，即，且，解得，即，故实数的取值范围为．20.已知函数，（1）解不等式；（2）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性求解；（2）求出的值域，由题意转化为的值域包含的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意，，即，整理得，又函数是R上的增函数，解得，所以不等式的解集为．【小问2详解】因为为R上的增函数，当时，函数的值域为．由已知，任意，总存在，使得成立，所以的值域是值域的子集．即在上的最小值．对，对称轴为，当时，在单调递增，，令，解得当，在单调递减，在单调递增，，成立．综上可知：的取值范围是.21.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求实数，的值：（2）试判断函数的单调性并用单调性的定义证明；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）在上单调递减，证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，列等式求解参数即可；（2）根据函数的解析式判定函数的单调性，再运用单调性的定义证明；（3）先运用函数的奇偶性和单调性化简不等式，再运用分离变量法转化不等式恒成立问题，结合函数的最值求解出参数的取值范围.【详解】解：（1）由，解得．由，得经检验可知符合题意，所以，（2）在上单调递减．由（1）得：证明：任取，且∵，∴，，∴∴在上单调递减（3）因为为奇函数且为减函数，所以不等式等价于，令，，下面求的最小值令，则，当时取到的最小值为 ∴，∴．即的取值范围是22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.不是上的有界函数，是上的有界函数23.24.当时，存在上界M，;当或时，存在上界M，；当时，存在上界M，;当时，不存在上界M．【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义判断即可；（2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；（3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围. 【详解】解：（1）在上单调递增不是上的有界函数，时，，此时时，，此时是上的有界函数（2），易知在区间上单调递增，∴.∴，所以上界构成的集合为．（3），当时，，，此时的取值范围是，当时，在上是单调递减函数，其值域为，故，此时的取值范围是，当时，，若在上是有界函数，则区间为定义域的子集，所以不包含0，所以或，解得：或，时，在上是单调递增函数，此时的值域为， ①，即或时，，此时的取值范围是，②，即时，，此时的取值范围是，综上：当时，存在上界，；当或时，存在上界，；当时，存在上界，，当时，此时不存上界．