湖北省荆门市东宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023年秋东宝中学高一（上）学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求集合A中函数的值域，得到集合A，解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，则，不等式解得，则，所以．故选：C2.函数的图象是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；故选：C3.若，则的最大值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．【详解】，当且仅当，即时取等号则的最大值为故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题． 4.已知函数，则满足的实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分情况讨论，当时，，解得；当时，，解得，最终取并集得到.【详解】函数，当时，两者取交集得到；当时，，两者取交集得到综上，得到.故选：D.5.函数的定义域为，函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可.【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，函数，可得解得，所以函数定义域为． 故选：D．6.若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（　　）A.m<－3或m>B.－3<m<C.m≤－3或m≥D.－3≤m≤【答案】BCD【解析】【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利用基本不等式求的最小值，再解不等式求m的取值范围.【详解】因为正实数x，y满足，所以，则=，当且仅当，即时等号成立.因为不等式有解，所以，即，，解得或.故选：BCD.7.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定的解集求出，再代入解一元二次不等式即得.【详解】依题意，是方程的二实根，且，于是，且，解得，不等式化为：，解得，所以所求不等式的解集为.故选：A8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由得当是的值域的倍，然后利用分段函数值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.【详解】解：由，可知，，，，所以当，对应就是的值域的倍，由分段函数可以得，在，值域为；，值域为可知当时，的值域为，故对应值域为 对于恒成立，可得，解得，，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下面命题正确是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”是真命题，则C.设，则“且”是“”的必要而不充分条件D.设，，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确；选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由等价于且，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A. B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或【答案】ACD【解析】【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以C正确；不等式即为，也即，解得或，所以D正确.故选：ACD11.已知函数，若最小值为，则实数a的值可以是（）A.1B.C.2D.4【答案】BCD【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对勾函数的性质判断上单调性、值域，再讨论、结合二次函数的性质判断上的单调性和值域，最后根据题设求a的范围，即可确定正确选项. 【详解】由题设，，根据对勾函数的性质：在上递减且值域为，在上递增且值域为，当时，在上递减且值域为，在上递增且值域为，∴此时，，显然不是最小值，不合题设；当时，在上递减且值域为，∴此时，要使是最小值，则，可得.∴B、C、D符合要求.故选：BCD12.已知，，且，则（）AB.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项 D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据开平方时被开方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式解得答案.【详解】使有意义的满足且，解得．故答案为：14.已知函数与分别由下表给出，则满足的x的值为________.x123131x123321【答案】2【解析】【分析】对于的任一取值，分别计算和的值，若，可得正确值.【详解】当时，，不合题意.当时，，符合题意.当时，，不合题意.故答案为：2 15.若函数，则__________.【答案】【解析】【分析】计算出的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，因为，因此，.故答案为：.16.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．（1）求a的值及集合A、B；（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．【答案】（1）a=﹣5，A={2，}，B={2，﹣5}；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得，然后解方程可得集合A、B；（2）结合（1）中的结论得到（CuA）∪（CuB），然后写出它的所有子集即可．【详解】（1）根据题意得2∈A，2∈B，将x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，解得a=﹣5，∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．（2）由题意得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，∴（CuA）∪（CuB）=∁U（A∩B）={，﹣5}，∴（CuA）∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{}，{﹣5，}．【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题． 18.设.（1）用分段函数的形式表达；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）写出函数的值域．【答案】（1）（2）作图见解析（3）【解析】【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式，即可得解；（2）根据函数的解析式可作出函数的图象；（3）根据函数的图象可写出函数的值域.【小问1详解】当时，，当时，．所以，.【小问2详解】 函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭）【小问3详解】由（1）（2）知，函数的最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，所以，在上值域为19.已知函数．（1）解关于x的不等式；（2）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.（2）首先将题意转化为，再利用换元法结合基本不等式求解即可.【小问1详解】，即，当时，即，解集为；当时， 当，即时，，因为，所以解集为或.当，即时，，因为，所以解集为．综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.【小问2详解】，即，因为恒成立，所以，设，则，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，．即.20.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7 万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，因此，所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.【小问2详解】由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当，即时取等号，而，因此当时，，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21.如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段， 表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可【详解】因为是梯形的中位线，所以；因为梯形与梯形相似，所以，所以；因为，所以，所以，所以，所以，设梯形，的面积分别为，高分别为，则，， 所以，所以，所以；由图可知，，即；证明：显然，，因为，所以，所以，所以22.已知二次函数（为实数）（1）若时，且对，恒成立，求实数取值范围；（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；（3）对，时，恒成立，求的最小值．【答案】（1） （2）（3）1【解析】【分析】（1）依题意可得，即对，恒成立，参变分离可得对恒成立，令，则，再利用基本不等式计算可得；（2）依题意可得对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；（3）依题意可得，即可得到，从而，再利用基本不等式计算可得.【小问1详解】时，，即，，恒成立，即恒成立，恒成立，，对恒成立，．令，则，则，当且仅当，即，此时时取，所以实数的取值范围时．【小问2详解】时，，即，，恒成立，即对恒成立，对恒成立．，， 所以实数的取值范围是．【小问3详解】对，时，恒成立，，则．，当且仅当且，即时取等号，