河北省秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023级高一第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则A.B.C.D.2.命题“，”的否定是（）A，B.，C.，D.，3.已知，，则为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇偶性与有关4.下列函数中，值域为的是（）A.B.C.D.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A.B.C.D.8.某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（）AB. C.D.9.负实数，满足，则的最小值为（）A.1B.0C.D.10.已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为．其中正确的结论为（）A.①②B.①③C.①④D.②④二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）11.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（）A.1B.2C.3D.412.下列说法正确的有（）A.函数的单调递增区间为B.“”是“”必要条件C.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件D.已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为13.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，； ②，，当时，；③．则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，，使得14.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）15.已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．16.已知函数为奇函数，则________．17.若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.18.若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.设：；：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求当时，函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.21已知函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值． 22.某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．23.已知函数是定义域为的奇函数，且满足．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;（2）已知，，且，若，证明：． 2023级高一第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】∵∴又∵∴故选B；【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；【突破】：画韦恩氏图，数形结合；2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“，”的否定是，.故选：C.3.已知，，则为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇偶性与有关【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可.【详解】函数的定义域为， ，函数偶函数.故选：B．4.下列函数中，值域为的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据的取值范围，即可判断ABC；对于函数，可得关于的方程有解，得，即可得出y的范围，即可判断D.【详解】解：对于函数，由于，则，故它的值域不是，故A不满足题意；对于函数，由于，则，故它的值域不是，故B不满足题意；对于函数，由于，则，故它的值域不是，故C不满足题意；对于函数，可得关于的方程有解，∴，∴可以取任意实数，即，故D满足条件.故选：D.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为.故选：C6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意知，不等式的解集为，即为不等式在上恒成立，当时，即时，不等式恒成立，满足题意；当时，即时，则满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.7.已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数，所以有.故选：C.8.某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.【详解】由题意可知，且，所以，所以化为，，解得.故选：C9.负实数，满足，则最小值为（）A.1B.0C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件消参,再应用基本不等式求解即可 【详解】根据题意有，故，当且仅当，时取等号．故选：10.已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为．其中正确的结论为（）A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】C【解析】【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；对于②，令，则，所以，所以为奇函数，又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；对于③，设，则，则，所以，所以是减函数，所以在上一定存在最大值，故③错误；对于④，因为为减函数，， 由，得，解得，所以的解集为，故④正确.故选：C.二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）11.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】BC【解析】【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，，由此根据值域可确定函数定义域，即可求解.【详解】因为为开口方向向上，对称轴为的二次函数，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，，，令，解得，，故要想在上的值域为，则要，结合选项知，实数的值可以是2和3.故选：BC12.下列说法正确的有（）A.函数的单调递增区间为B.“”是“”的必要条件C.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 D.已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为【答案】CD【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断A，根据必要条件及特例法判断B，根据一元二次方程异号根的充要条件判断C，根据集合运算得，然后分类讨论求解参数判断D.【详解】对于A，令，解得，故函数定义域为，其中，故在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递增，由复合函数单调性可知，的单调递增区间为，A错误；对于B，若，不一定得到，例如：，，故“”不是“”的必要条件，B错误；对于C，有一正一负根，则需要满足，，故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，C正确；对于D，，要使，进一步可得，故当时，显然满足，此时，当时，此时，解得，符合题意，当时，此时，解得，符合题意，综上可知实数的集合为，故D正确.故选：CD 13.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，，使得【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，，，作出大致函数图象，结合图象逐一判断即可．【详解】解；因为函数定义在上的函数，所以由①：，，所以函数为偶函数，又因为由②知：，，当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又因为，所以，作出函数的大致图象，如图所示：对于A：因为函数在上单调递减，因此，故A错误；对于B：因为定义在上的偶函数在上单调递增且连续，且，所以，即，解得，即，故B正确；对于C、因为，， 因为函数为偶函数，在单调递增，所以由或，解得或，即，因此C正确；对于D、由C知是函数的最小值，因此，，使得，因此D正确，故选：BCD．14.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】因为为正实数，由，得，然后对条件进行配凑变形，利用基本不等式对选项一一分析即可确定答案.【详解】A选项，因为为正实数，则，令，，则，解得，所以，即，即，当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误；B选项，由，得，则，所以， ，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值，B正确；选项C，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，即C正确；选项D，，当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最小值，D错误．故选：BC．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）15.已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．【答案】2【解析】【分析】根据幂函数定义可知，求解后根据函数对称性验证即可.【详解】因为是幂函数，所以，即，解得或，当时，为奇函数，不满足题意；当时，的图象关于y轴对称，满足题意.所以，.故答案为：2 16.已知函数为奇函数，则________．【答案】4【解析】【分析】计算出，根据函数奇偶性得到，从而得到.【详解】由题可得，因为为奇函数，所以，即，解得.故答案为：417.若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的对称轴与区间的位置关系列不等式即可求解.【详解】二次函数的对称轴为，因为函数在区间上单调，且区间有意义，所以或，解得或，则实数的取值范围是.故答案为：.18.若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据已知域同区间的定义，分函数在区间 上单调递减和单调递增两种情况分类，列出方程组讨论结果，即可得到答案．【详解】若，则在上单调递减，所以得，所以，，则，又因为，所以，则有，所以，当时，在上单调递增，所以则关于x的方程有两个不同的非负根，所以解得，综上可知.故答案为：四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.设：；：.若是充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】平方化简求解命题成立的范围，解一元二次不等式得命题成立的范围，再根据是的充分不必要条件列不等式组求解即可.【详解】：由，两边平方得，解得.（也可以根据绝对值得性质直接去绝对值求解） ：，化为，解得.因为是的充分不必要条件，所以，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为.20.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求当时，函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；（2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.【小问1详解】设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以即当时，函数的解析式为，【小问2详解】 由，得，因为为奇函数，所以，当时，，所以在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围为21.已知函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）利用换元法令，则，由求得，所以；（2）根据（1）有，对称轴为，函数左减右增，最大值在两端取得，、，当时，，当时，，，.（1）令，则，又，，即.（2），图像对称轴为， 在上是减函数，在上是增函数，在上的最大值为或，又，，当时，，当时，，，.22.某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（2）38万部时，最大利润为7170万元.【解析】【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.【小问1详解】依题意，生产万部手机，成本是（万元），故利润，而，故，整理得，；【小问2详解】 时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；时，，其中，在上单调递减，在上单调递增，因，故时，取得最小值故在时，y取得最大值而，故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.23.已知函数是定义域为的奇函数，且满足．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;（2）已知，，且，若，证明：．【答案】（1），单调递减（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义、可求得的值，得出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论；（2）证法一：利用得，再由基本不等式可得答案；证法二：判断出在上单调递减,在区间上单调递增，得出，，要证，即证，利用分析法证明可得答案.【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数，，所以，解得，所以，且，函数是定义域为的奇函数，设，则，因为，所以，所以，，所以函数在区间上单调递减；【小问2详解】证法一：由题意，，则有，因为，所以，即，所以，得证．证法二：由（1）知，在上单调递减,设，则，因为，所以，所以，，所以函数在区间上单调递增；因为，，，所以，，所以要证，即证， 即证，即证，代入解析式得，即证，化简整理得，即证，因为，显然成立，所以原不等式得证，所以．