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浙江省金华市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析)

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金华一中2023学年第一学期期中考试高一数学试题卷一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知,若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征,对元素进行判断.【详解】且,则;且,则,所以.故选:A2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】根据诗意,作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”,但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选:B.3.已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意可得,解不等式即可求出答案.【详解】因为命题“,使”是假命题,所以恒成立,所以,解得,故实数取值范围是.故选:B.4.若函数和分别由下表给出,满足的值是()1234234112342143A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】从外到内逐步求值.【详解】由,则,则.故选:D5.某同学到长城旅游,他租自行车由宾馆骑行前往长城,前进了akm,觉得有点累,休息后沿原路返回bkm().想起“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可.【详解】第一段时间,该生骑车为直线方程形式,单调递增.第二段实际休息,此时距离起点的距离不变,此时休息期间为常数,然后原路返回,此时距离减小,为递减函数,然后调转车头继续前进,此时距离逐步增加,所以图象C合适.故选:C.6.某食品加工厂生产某种食品,第一个月产量为,第二个月的增长率为a,第三个月的增长率为b,这两个月的平均增长率为x,(均大于零),则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量,从而构建的等式,再利用基本不等式计算的不等关系.【详解】第二个月的增长率为a,第三个月的增长率为b,则第三个月的产量为这两个月的平均增长率为x,则第三个月的产量为所以,计算可得又 所以,当且仅当时取得等号.故选:B.7.已知函数满足:且.A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【解析】【详解】可设,则f(x)满足题意.易知但1>−5,排除A.但2<3,排除C.排除D.故选B.8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于()A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】根据题意可得或,进而讨论a的范围,确定出,最后得到答案.【详解】因为,,所以或,由,得,关于x的方程,当时,即时,易知,符合题意;当时,即或时,易知0,-a不是方程的根,故,不符 合题意;当时,即时,方程无实根,若a=0,则B={0},,符合题意,若或,则,不符合题意.所以,故.故选:B.【点睛】对于新定义的问题,一定要读懂题意,一般理解起来不难,它一般和平常所学知识和方法有很大关联;另外当时,容易遗漏a=0时的情况,注意仔细分析题目.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据对数的性质,逐项判断即可得出结果.【详解】根据对数的性质可知,,,,,故ABC正确;D错误.故选:ABC.10.下列命题中,正确的是()A.若,则B.若,则C.若,那么D已知,则【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断,或取特值验证即可.【详解】A选项:由可知,所以,故,即,A正确;B选项:当时,,所以,即,B错误; C选项:取,满足,但,即,C错误;D选项:由不等式可加性可知D正确.故选:AD11.某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:℃)满足函数关系(,、为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是120小时,在20℃的保鲜时间是30小时,则()A.B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时【答案】ACD【解析】【分析】由题意可知,,求得,进而可得,可判断A;利用单调性可判断B;计算可判断C;计算可判断D.【详解】对于A,由题可知,,则,故,所以,则,A正确;对于B,由A可知,在上是减函数,且在上是增函数,所以在上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B错误;对于C,由A可知,小时,C正确;对于D,由A可知,小时,D正确.故选:ACD.12.已知函数满足对任意恒成立,则()A.B.C.D.函数的图象关于直线对称【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值法得到等的值,进而得到函数的性质,逐一判断即可【详解】对于A:令,得,则,所以A正确;对于B:令,则,令,得,即,所以B错误;对于C:令,得,即,所以为偶函数,令,得,令,得,又为偶函数,所以,C正确;对于D:由C可知为偶函数,所以为向右平移3个单位得到,此时关于直线对称,D正确,故选:ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若,则实数x的值为________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算可得解.【详解】由,可得,,解得.故答案为:1.14.已知正实数x,y满足:,则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用不等式,直接计算即可. 【详解】,当且仅当,即时取得等号;故的最大值为;故答案为:.15.若,且不等式的解集中有且仅有四个整数,则a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集,然后根据题意得到不等式组,进而求出结果.【详解】不等式,当时,,不等式的解集为,若不等式解集中有且仅有四个整数,则这四个整数为,则,此时,与矛盾;当时,,不等式的解集为,不符合题意;当时,,不等式的解集为,若不等式解集中有且仅有四个整数,则这四个整数可能为或,当这四个整数为时,则且,无解,当这四个整数为时,则且,解得,综上可知,实数的取值范围是.故答案为:. 16.已知,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是__________【答案】【解析】【详解】,分类讨论:①当时,,函数的最大值,舍去;②当时,,此时命题成立;③当时,,则:或,解得:或综上可得,实数的取值范围是.【名师点睛】本题利用基本不等式,由,得,通过对解析式中绝对值符号的处理,进行有效的分类讨论:①;②;③,问题的难点在于对分界点的确认及讨论上,属于难题.解题时,应仔细对各种情况逐一进行讨论.四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设集合,非空集合.(1)若,求实数a的值;(2)若,求实数a取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)由,代入后解方程并检验是否满足题意.(2)由得,再根据集合包含关系分类求解.【小问1详解】 由题意得,,即化简得:解得:或,检验:当,,满足当,,满足,或【小问2详解】,故,①当为单元素集,则,即,得或,当,不含题意,舍;当,符合.②当为双元素集,则,则有,无解,综上:实数的取值范围为18.化简或计算下列各式:(1)(2)已知,用a,b表示(3)已知,求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案;(2)利用对数的运算性质以及换底公式将化为和表示的形式,则答案可得; (3)先求,再求,最后利用平方差公式求的结果.【小问1详解】;【小问2详解】,又,所以;【小问3详解】,所以,,所以,.19.已知函数(1)解不等式;(2)求在区间上的值域;(3)对任意,总存在,使得成立,求a的取值范围【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用指数函数的单调性解不等式即可; (2)根据指数函数的单调性求值域;(3)由题意转化为的值域包含的值域,根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意,,即可得,即,解得,即不等式的解集为.【小问2详解】因为为增函数,所以时,,即函数的值域为.小问3详解】由(2)知,任意,总存在,使得成立,即在上的最小值,对,①当,即时,在上单调递增,故不成立;②当,即时,在上单调递增,故,解得,又,故无解;③当,即时,的对称轴时,在上单调递增,故,解得,故,当对称轴时,成立.综上,.20.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速 发展,筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一万台需另投入80万元,设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时,每万台的年销售收入(万元)与年产量(万台)满足关系式:;当时,每万台的年销售收入(万元)与年产量(万台)满足关系式:(1)写出年利润(万元)关于年产量(万台)的函数解析式(利润=销售收入一成本);(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意,利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式.(2)利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值,进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】由题意,当时,年收入为,当时,年收入为,故年利润为,即.【小问2详解】当时,,由函数图象开口向下,对称轴方程为可知函数单调递增,所以当时,,当时,,当且仅当时,即时等号成立, 因为,所以当年产量为29万台时,该公司获得年利润最大为1360万元.21.已知幂函数为偶函数.(1)求函数的解析式.(2)设函数,问是否存在实数,使得在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出q;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)直接根据幂函数的定义结合奇偶性即可得结果;(2)把作为一个整体,时,,时,,结合二次函数的单调性可得的值.【小问1详解】因为为幂函数,所以,解得或,又因为为偶函数,所以,所以函数的解析式为.【小问2详解】存在,理由如下:由(1)知.由于,因而当时,,此时,函数单调递减,而函数上单调递减,则外层函数在上单调递增;当时,,此时,函数单调递增,而函数在上单调递减, 则外层函数在上单调递减.所以,即.所以存在满足题设条件.22.已知函数,(,a为常数).(1)讨论函数的奇偶性;(2)若函数有3个零点,求实数a的取值范围;(3)记,若与在有两个互异的交点,且,求证:.【答案】(1)见解析(2)或(3)见解析【解析】【分析】(1)利用奇偶函数的定义分析讨论即可;(2)分类讨论,或时,的大致图象,结合图象即可得解;(3)分类讨论与时,的大致图象,从而得到,,,从而利用分析法将问题一路转化为证,由此得解.【小问1详解】(1),定义域为,关于原点对称,又,故当时,,函数为偶函数,当时,,故函数为非奇非偶函数.【小问2详解】因为, 当,即时,,此时开口向下,对称轴为,且,当,即或时,,所以当时,在,上单调递增,且,,则的图象如下:  显然,当,即时,有个零点;当时,在,上单调递减,且,,则的图象如下:  显然,当,即时,有个零点;当时,为偶函数,其零点个数必为偶数,不满足题意;综上:或.【小问3详解】因为,所以当时,,则,易知在上单调递减, 当时,,则,易知在上单调递增,因为与在有两个互异的交点,所以与在与各有且只有一个交点,又,所以,且,,则,,故,即,则,要证,即证,即证,只需证,即证,即证,即证,因为,所以,则,所以显然成立,证毕.【点睛】关键点睛:本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图象,结合图象得到,,从而利用分析法将问题转化为单变量不等式,由此得解.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-12-22 06:25:02 页数:17
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文章作者:随遇而安

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