浙江省金华市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

金华一中2023学年第一学期期中考试高一数学试题卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.【详解】且，则；且，则，所以.故选：A2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数取值范围是．故选：B．4.若函数和分别由下表给出，满足的值是（）1234234112342143A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由，则，则.故选：D5.某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可．【详解】第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象C合适．故选：C．6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为，第二个月的增长率为a，第三个月的增长率为b，这两个月的平均增长率为x，（均大于零），则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量，从而构建的等式，再利用基本不等式计算的不等关系.【详解】第二个月的增长率为a，第三个月的增长率为b，则第三个月的产量为这两个月的平均增长率为x，则第三个月的产量为所以，计算可得又 所以，当且仅当时取得等号.故选：B.7.已知函数满足：且．A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【详解】可设，则f（x）满足题意.易知但1＞−5,排除A.但2＜3,排除C.排除D.故选B.8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.【详解】因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符 合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据对数的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】根据对数的性质可知，，，，，故ABC正确；D错误.故选：ABC.10.下列命题中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，那么D已知，则【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断，或取特值验证即可.【详解】A选项：由可知，所以，故，即，A正确；B选项：当时，，所以，即，B错误； C选项：取，满足，但，即，C错误；D选项：由不等式可加性可知D正确.故选：AD11.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时【答案】ACD【解析】【分析】由题意可知，，求得，进而可得，可判断A；利用单调性可判断B；计算可判断C；计算可判断D.【详解】对于A，由题可知，，则，故，所以，则，A正确；对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；对于C，由A可知，小时，C正确；对于D，由A可知，小时，D正确.故选：ACD.12.已知函数满足对任意恒成立，则（）A.B.C.D.函数的图象关于直线对称【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值法得到等的值，进而得到函数的性质，逐一判断即可【详解】对于A：令，得，则，所以A正确；对于B：令，则，令，得，即，所以B错误；对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得，令，得，又为偶函数，所以，C正确；对于D：由C可知为偶函数，所以为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确，故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则实数x的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算可得解.【详解】由，可得，，解得.故答案为：1.14.已知正实数x，y满足：，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即时取得等号；故的最大值为；故答案为：.15.若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果.【详解】不等式，当时，，不等式的解集为，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数为，则，此时，与矛盾；当时，，不等式的解集为，不符合题意；当时，，不等式的解集为，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数可能为或，当这四个整数为时，则且，无解，当这四个整数为时，则且，解得，综上可知，实数的取值范围是．故答案为：． 16.已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【解析】【详解】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合，非空集合.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意．（2）由得，再根据集合包含关系分类求解．【小问1详解】 由题意得，，即化简得：解得：或，检验：当，，满足当，，满足，或【小问2详解】，故，①当为单元素集，则，即，得或，当，不含题意，舍；当，符合.②当为双元素集，则，则有，无解，综上：实数的取值范围为18.化简或计算下列各式：（1）（2）已知，用a，b表示（3）已知，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案；(2)利用对数的运算性质以及换底公式将化为和表示的形式，则答案可得； (3)先求，再求，最后利用平方差公式求的结果.【小问1详解】；【小问2详解】，又，所以；【小问3详解】，所以，，所以，.19.已知函数（1）解不等式；（2）求在区间上的值域；（3）对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可； （2）根据指数函数的单调性求值域；（3）由题意转化为的值域包含的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意，，即可得，即，解得，即不等式的解集为.【小问2详解】因为为增函数，所以时，，即函数的值域为.小问3详解】由（2）知，任意，总存在，使得成立，即在上的最小值，对，①当，即时，在上单调递增，故不成立；②当，即时，在上单调递增，故，解得，又，故无解；③当，即时，的对称轴时，在上单调递增，故，解得，故，当对称轴时，成立.综上，.20.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时，每万台的年销售收入（万元）与年产量（万台）满足关系式:;当时，每万台的年销售收入（万元）与年产量（万台）满足关系式:（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y（万元）关于年产量x(万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】由题意，当时，年收入为，当时，年收入为，故年利润为，即.【小问2详解】当时，，由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数单调递增，所以当时，，当时，，当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.21.已知幂函数为偶函数．（1）求函数的解析式．（2）设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）直接根据幂函数的定义结合奇偶性即可得结果；（2）把作为一个整体，时，，时，，结合二次函数的单调性可得的值．【小问1详解】因为为幂函数，所以，解得或，又因为为偶函数，所以，所以函数的解析式为.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知.由于，因而当时，，此时，函数单调递减，而函数上单调递减，则外层函数在上单调递增；当时，，此时，函数单调递增，而函数在上单调递减， 则外层函数在上单调递减.所以，即.所以存在满足题设条件.22.已知函数，（，a为常数）．（1）讨论函数的奇偶性；（2）若函数有3个零点，求实数a的取值范围；（3）记，若与在有两个互异的交点，且，求证：．【答案】（1）见解析（2）或（3）见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义分析讨论即可；（2）分类讨论，或时，的大致图象，结合图象即可得解；（3）分类讨论与时，的大致图象，从而得到，，，从而利用分析法将问题一路转化为证，由此得解.【小问1详解】（1），定义域为，关于原点对称，又，故当时，，函数为偶函数，当时，，故函数为非奇非偶函数.【小问2详解】因为， 当，即时，，此时开口向下，对称轴为，且，当，即或时，，所以当时，在，上单调递增，且，，则的图象如下：  显然，当，即时，有个零点；当时，在，上单调递减，且，，则的图象如下：  显然，当，即时，有个零点；当时，为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：或.【小问3详解】因为，所以当时，，则，易知在上单调递减， 当时，，则，易知在上单调递增，因为与在有两个互异的交点，所以与在与各有且只有一个交点，又，所以，且，，则，，故，即，则，要证，即证，即证，只需证，即证，即证，即证，因为，所以，则，所以显然成立，证毕.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图象，结合图象得到，，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解.