浙江省A9协作体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高一数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的概念计算即可.【详解】因为，所以，由交集的定义可知.故选：.2.若命题则命题的否定为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题及可求解.【详解】命题的否定为: 故选：C3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】使函数有意义列式解不等式即可求出定义域.【详解】根据函数有意义可得,即,所以函数定义域为.故选：C.4.若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.【详解】因为，所以故选：A.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得，由解得，因为Ü，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6.若定义在上函数是偶函数，当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件可知在上单调递减，在上单调递增，据此转化不等式，求解即可.【详解】因时，恒成立，所以函数在上单调递减，又函数为上的偶函数，故在上单调递增，又，所以，两边平方后解得，故选：7.已知且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以， 因为,,所以,所以，当且仅当,即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.8.我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据，求得的解析式，利用其为奇函数，得到方程组，求解即可.【详解】设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，即要使函数为奇函数，必有，解得.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】ACD，由不等式的性质可得到正误；B选项，由函数单调性得到判断.【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因在R上单调递增，故，B正确；C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.故选：ABD10.设定义在上的奇函数和偶函数，下列函数中必为奇函数的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解.【详解】由于，故为偶函数，，故为奇函数，，故为偶函数，，所以为奇函数，故选：BD11.历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（）A.的图像关于轴对称B.的值域是C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可.【详解】易知同为有理数或同为无理数，所以，故A正确；由题意可知，故B错误； 易知同为有理数或同为无理数，所以，故C正确；由题意可知均为有理数，所以，故D正确.故选：ACD12.已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据条件，令，可得，A正确；再令，可得，据此变形，可得，故C正确；此时可解出，求得，故BD错误.【详解】对于A，中令，则，A正确；对于BCD，再令，则，即①所以即②，又因为也符合上式，C正确；联立①②，解得，D错误，B错误.故选：AC. 非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点在幂函数的图象上，则______.【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入计算即可求解.【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以.故答案为：.14.已知全集，集合，，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，经验证满足条件，所以实数的值为.故答案为：.15.已知，，则______.【答案】【解析】【分析】代入解析式，根据两式相加可得答案.【详解】因为，，所以，，两式相加可得，所以. 故答案为：16.已知函数若，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分类讨论，按分类解不等式．【详解】对于函数（i）当，则，解得，故此时不存在；（ii）当，则，解得或，故此时的取值范围为；（iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为.综上，的取值范围为.故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，得到集合B，再结合集合的补集和交集运算，即可求解；（2）由可得，分类讨论，结合集合的包含关系即可求解. 【小问1详解】当，此时，则所以【小问2详解】若，则①当，则，解得，符合题意；②当，即时，须满足：，解得，所以.综上，实数m的取值范围为.18.已知函数，（1）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（2）若的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）由题意确定函数为二次函数，继而根据二次函数图象性质结合题意列出相应不等式，即可求得答案；（2）由一元二次不等式解集可列出方程组求得的值，将化为一元二次不等式，即可求解.【小问1详解】若在区间上不单调，则一定是二次函数，所以根据二次函数图象性质可知只需满足，解得或.【小问2详解】由题意可知是方程的两个根，且， 则，解得，则即，解不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.19.已知定义在上的奇函数，且（1）求的解析式；（2）用定义法证明函数在单调递增；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数定义求出值，再验证即可.（2）利用函数单调性定义推理即得.（3）利用奇函数定义变形不等式，再利用单调性脱去法则即得.【小问1详解】定义在上的奇函数，则，解得，由，解得，即，显然，即函数是奇函数，所以的解析式是.【小问2详解】对，令，则由，得，且， 则有，即，所以函数在单调递增.【小问3详解】若，则，因为为奇函数，则，由函数在上单调递增，得，解得，所以实数的取值范围是.20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（1）求的解析式；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）分类讨论二次函数单调性，即可求解最值求解，或者利用参变分离，结合基本不等式以及对勾函数的性质求解.【小问1详解】当时，，则，因为为奇函数，所以，且，所以.【小问2详解】当，，要使得恒成立，即恒成立. 方法一：令，只需即可（i）当，即时，在上单调递增，，符合题意；（ii）当，即时，在上单调递减，，解得，所以；（iii）当，即时，在上单调递减，上单调递增，解得，所以；综上，.方法二：不等式移项得，（i）当，不等式，恒成立；（ii）当，则，令，在单调递减，，所以.综上，.21.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某杭州纪念品商家为了迎合亚运会拟举行促销活动.经调查测算，商品的年销售量（万件）与年促销费用（万元）满足如下关系：（为常数），如果不搞促销活动，则商品年销售量为万件.已知商家每年固定投入万元（门店租赁、水电费用等），商品的进货价为元/件，商家对商品的售价定为每件产品的年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和产品进货投入）.（1）将该产品的年利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数（利润=销售额－产品成本－促销费用）；（2）当促销费用（万元）为何值时，该商家能够获得利润最大？此时利润最大值为多少？【答案】（1）（2）万元，万元【解析】 【分析】根据题意，得到，求得每件商品的销售价格为元，进而得出函数的关系式；（2）由（1）中的解析式，结合，进而求得利润最大值.【小问1详解】解：由题意，当时，，可得，解得，所以，因为每件商品的销售价格为元，所以.【小问2详解】解：因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，故当促销费用（万元），该商家能够获得利润最大，此时利润最大值为（万元）.22.对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数.（1）当时，求函数关于参数的不动点；（2）若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围；（3）当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围.【答案】（1）或（2）（3）【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义即可求解方程得解，（2）根据不动点的定义得方程两根，进而根据判别式即可求解，（3）根据二次函数的零点分布可求解，或者分离参数，结合对勾函数的性质和图象求解.【小问1详解】当时，令，可得，即解得或，所以的不动点为或，【小问2详解】由题意可知，对，关于的方程，即恒有两个不等实根，从而恒成立即关于的不等式恒成立，从而恒成立解得【小问3详解】方法一：由题意可得方程关于的方程，即在上恒有两个不等实根，令，根据二次函数性质，须满足，解得方法二：，即在上恒有两个不等实根，令，则直线与函数在上有两个不同的交点，由于在上单调递减，在上单调递增且，，结合图象可知