浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

绍兴一中2023学年第一学期期中考试高一（数学）试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定为（）A.“”B.“”C.“”D.“”【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是：.故选：D2.已知全集则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据韦恩图表达的集合M和N之间的关系，求解阴影部分所表达的集合．【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合N中不属于集合M的元素组成的集合，即.故选C.【点睛】认真理解韦恩图所表达的意义． 3.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.－1B.－1或3C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C4.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】利用同一函数的定义判断即可.【详解】对于A.与的定义域均为，对应关系相同，则与为同一函数；对于B.与的对应关系不同，则与不是同一函数；对于C.与的对应关系不同，则与不是同一函数；对于D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，则与不是同一函数.故选：A.5.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用指数函数的性质排除选项AD，再结合对数函数的单调性排除选项B，再检验选项C中图像性质，由此得解.【详解】因为，所以单调递增，且恒成立，即轴上方的图像是的图像，且图像单调递增，从而排除选项AD；而，所以单调递减，从而排除选项B，而选项C中的图像性质满足要求，故C正确.故选：C.6.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（）倍.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，， 则有，又因为，所以，故选:C.7.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设可判断的单调性，利用单调性可比较的值，由指数函数的单调性可判断的范围，即可得正确选项.【详解】令，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，，所以，且，因为在上单调递增，所以，所以，故选：A.8.设函数，，，，，记，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性，对称性及绝对值的定义，分别求出与1的关系，进而得出答案. 【详解】函数在上单调递增，随的增大而增大，从而，.的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，当时，，则；当时，，则，又，，则，同理.当时，，则，图象关于对称，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，，则在上单调递增，当时，，则；当时，，则； 又，，则；当时，，则；，即，.所以.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.当时，B.函数在上单调递减C.D.方程有6个根【答案】AB【解析】【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此得解. 【详解】根据图像可知，当时，，在上递减，在上递增，所以根据奇函数性质可，当时，，故A正确；当时，在上递减，在上递增，故B正确；由于在上递增，所以，故C错误；当时，由图象可知有两个根，所以在上，也有两个根，又，所以方程有5个根，故D错误.故选：AB.10已知，且则（）A.B.的最大值为4C.的最小值为9D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由条件变形后分解因式可判断A；利用基本不等式结合解不等式可判断B；由条件变形可得，结合1的妙用可判断C；由条件可得，代入结合二次函数的性质可判断D．【详解】由，得，即，故A正确；，（当且仅当时取等号），解得，故B错误；由变形可得，所以， 当且仅当且，即时取等号，故C正确；由，得，，所以，因为，则，即时，取最小值，故D正确．故选：ACD．11设，，若a，b，c互不相等，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点，可判断C，D.【详解】由，可得，因为，所以，故A正确；当时，，若，则，故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确，因为，，可将看成函数与图象的交点横坐标，当时，图象如下图，可得：，此时.当时，图象如下图， 可得：，此时，所以C不正确，D正确；故选：ABD.【点睛】本题关键点是将看成函数与图象的交点横坐标，作出函数与图象，讨论的取值即可比较的大小.12.定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（）A.B.为的对称轴C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错； 又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】∵，∴，又，∴，即的取值范围是.故答案为：.14.已知函数，若，则实数__________.【答案】【解析】【分析】先由分段函数求得，进而得解关于的方程，从而得解.【详解】因为，则，所以由，得，所以，解得．故答案为：．15.已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为__________.【答案】##0.75【解析】 【分析】由题意可求得，从而变形得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】函数的反函数为，∵，∴，即，则，又，，则，∴,当且仅当时取等号，故的最小值为.故答案为：.16.已知实数，满足，则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】已知等式变形，由函数在上单调递增，得，代入中利用基本不等式求最小值.【详解】，有，得，函数在上单调递增，，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.【点睛】思路点睛：本题把变形为，通过构造函数，利用函数单调性得到，是解题关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算；（2）计算.【答案】（1）0；（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂与根式的运算法则求解即可；（2）利用对数的运算法则即可得解.【详解】（1）.（2）18.在①A∪B=B：②“”是“”的充分条件：③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，} （1）当a=2时，求A∪B；（2）若________，求实数a的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简集合,然后根据并集的定义求解；（2）将问题转化成，然后利用集合的包含关系求解.【小问1详解】当a=2时,，，∴；【小问2详解】由题可得，，选择①，A∪B=B，则，∴，解得，∴实数a的取值范围是；选择②，由“”是“”的充分条件，可得，∴，解得∴实数a的取值范围是；选择③，∵，∴或，∵,∴，解得∴实数a的取值范围是.19.已知函数为偶函数． （1）求a的值，并证明在上单调递增；（2）求满足的x的取值范围．【答案】（1）；证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由偶函数定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结论；（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.【小问1详解】解：由题意函数为偶函数，∴，即∴对任意恒成立，解得．∴任取，则由，可得，∴，即，∴在上单调递增．【小问2详解】由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，解得， ∴满足的x的取值范围是．20.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求的值；（2）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；（3）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】（1）1（2）选择模型②，，定义域为（3）441【解析】【分析】（1）根据题意，代入第10天的日销售收入为505元，即可得解；（2）先利用函数的单调性，结合题设条件排除①③④，从而利用待定系数法即可得解；（3）由题意得，从而结合基本不等式与函数的单调性，分段讨论的最小值，由此得解.【小问1详解】因为每件的销售价格，第10天的日销售收入为505元，则，解得．【小问2详解】 由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，而①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，，所以，定义域为.【小问3详解】由（1）知，由当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值441．21.已知函数，函数．（1）当时，求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用换元，设，将化为，结合二次函数的性质即可求得答案；（2）结合（1）的结论，将不等式对任意实数恒成立转化为，整理为，求出的范围，即可求得答案.【小问1详解】设，则，则即化为，在上单调递增，当时，，当时，，即的值域是．【小问2详解】由不等式对任意实数恒成立得，由（1）可知，．，，即，即，整理得，即，解得，实数x的取值范围为．22.设函数．（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）的最大值是3，此时. 【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质，确定最大值点列式求解即得.（2）按，，，分类讨论，借助函数对称轴的情况，探讨函数在上的单调性及最值，使时，得到关于，的不等式组求解即得.【小问1详解】函数的图象是开口向上的抛物线，则在区间上的最大值必是和中较大者，而，于是，即，所以.【小问2详解】由当时，恒成立，得，即，①当时，如图，显然函数在区间上单调递增，，，故，即，而函数在上是增函数，于是，即有，因此，此时，；②当时，如图，显然函数在区间上单调递减，，， 于是，即，则，由不等式性质得，即，而当时，，因此不可能成立；③当时，如图，于是，，则，即，必有，即，显然此不等式不成立；④当时，如图，于是，，则，即，从而，因此，即，整理得，解得，所以的最大值是3，此时.