浙江省衢温51联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期“衢温5+1”联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义即可求得.【详解】，则.故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“”，则其否定为. 故选：C3.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域.【详解】由，可得，故且则函数的定义域是故选：D4.已知命题，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由推不出，比如，故充分性不满足；由推不出，比如，故必要性不满足；所以是的既不充分也不必要条件.故选：D5.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.3B.C.1D.3或【答案】A【解析】【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质列出方程，不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数是幂函数，且在上递增， 则有，解得故选：A6.中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】ABD选项，均有对应的函数值不在中，C选项中元素对应的函数值均在中.【详解】A选项，当时，，而，故A错误；B选项，当时，，而，故B错误；C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求，C正确；D选项，当时，，而，D错误.故选：C7.设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式解集得到参数关系，进而有，再比较各函数值的大小. 【详解】由题设，则，故，所以，，，且，所以.故选：D8.已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（）A.0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.【详解】令，定义域为，令，得，且在上单调递增，画出函数图象如下： 则的图象如下：若，则，画出的图象如下，显然最小值为2，不合题意，若，则画出的图象如下：显然函数在点取得最小值，令，解得，正值舍去，令，解得，若，则画出的图象如下： 显然函数在点取得最小值，令，解得，负值舍去，令，解得，综上，.故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列函数是奇函数且在区间上是单调递减函数的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义即可排除CD，结合函数的单调性即可求解AB.【详解】由于函数的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且在区间上是单调递减函数，故A正确，由于函数的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且在区间上是单调递减函数，故B确，的定义域为,定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误，的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，不符合要求，D错误，故选：AB 10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【详解】选项A：由，可得.判断正确；选项B：令，满足，但是则不成立.判断错误；选项C：由，可得，则不等式两边均除以可得.判断正确；选项D：又，则，则，则.判断正确.故选：ACD11.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数的值域为，则的取值范围是D.已知在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】A选项，由题意得到不等式，求出抽象函数定义域；B选项，换元法求解函数值域；C选项，根据题意能取得任何非负数，分和，根据根判别式得到不等式，求出答案； D选项，根据分段函数单调递增，需满足在每一段上均单调递增，且左端点函数值小于等于右端点函数值，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，令，则，故，故函数的值域为，B错误；C选项，若函数的值域为，则能取得任何非负数，若，则，能够取到任意非负数，满足要求，若，则要，解得，综上，的取值范围是，C错误；D选项，已知在上是增函数，要满足，解得，则实数的取值范围是，D正确.故选：AD12.已知函数，则以下结论正确的是（）．A.函数为增函数B.C.若在上恒成立，则的最小值为8D.若关于的方程有三个不同的实根，则 【答案】BCD【解析】【分析】根据解析式可整理得到当，时，；根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确.【详解】当时，；当时，；依次类推，当，时，；对于A，，，不符合增函数定义，A错误；对于B，，，对于，不等式恒成立，B正确；对于C，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，因为，则，在上恒成立，的最小值为，C正确；对于D，由得：，当时，则，方程无解，不合题意；当时，则或；与有且仅有三个不同交点；当时，；当时，；当时，；当时，； 当时，；，解得：；D正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：本题考查函数中的类周期问题的求解，解题基本思路是根据解析式的变化规律确定函数解析式的形式及每一段解析式对应的值域，根据每个选项中的考点：单调性、最值、恒成立及方程根的个数问题，结合解析式和值域确定结果.非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13.计算：______．【答案】12【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式.故答案为：14.已知函数，则__．【答案】4【解析】【分析】利用分段函数解析式即可求得的值.【详解】由，可得，则故答案为：415.已知，若，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：16.定义在实数集R上的偶函数满足，则___．【答案】【解析】【分析】构造新函数，求得的周期为4，依据题给条件求得的值，进而求得的值.【详解】由，可得，则，即令，则，即，则则的周期为4，则，由为偶函数，可得为偶函数，又由，可得，则，则， 又的周期为4，则，则则，解之得，，又，则故.故答案为：【点睛】思维点睛：抽象函数的函数值的计算，往往借助于函数的奇偶性、周期性等来简化计算，而后者的探究需对原有计算关系变形化简.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分与讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，又，或，或.【小问2详解】当时，． 当时，．综上所述，实数的取值范围为．18.已知函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；【答案】（1）；（2）函数在上为减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）代入两点坐标，得到方程组，求出，得到解析式；（2）利用定义法证明函数单调性步骤为取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】∵函数过点，∴，解得，.【小问2详解】函数在上为减函数，理由如下：设任意，且，则．，， ，即，函数在上为减函数．19.已知函数（1）若的解集为，求的值；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）或；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数值即可；（2）由题设得，讨论、、求对应解集.【小问1详解】的解集为．方程的两根为和，且，，解得或.【小问2详解】且不等式，即，即，①当时，，解得，解集为；②当时，，解得，解集；③当时，原不等式即，解得，解集为．综上，当时，解集为； 当时，，解集为；当时，解集为.20.已知定义在上的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据定义在上的奇函数函数，则有即可解题；（2）由（1）知，易知在上单调递减，根据奇偶性和单调性，可将条件转化为在上恒成立，再求的取值范围即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，经检验满足题意，所以.【小问2详解】由（1）知，易知在上单调递减，由，可得，因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于，又在上单调递减，所以，所以在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，有，解得，综上所述，实数的取值范围是. 21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设．（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）；（2）选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据题意，列出面积公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出面积公式，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为，阴影部分的面积，又，由图可知：，海报纸的周长为.【小问2详解】由（1）知，，，当且仅当，即时，等号成立，此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.22.已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）先化简的解析式，依据二次函数单调性即可求得的单调区间；（2）构造新函数，将题给条件转化为在上单调递增，按a分类讨论即可求得实数的取值范围．【小问1详解】当时，则又图像开口向上，对称轴，单调递增，的单调递增区间为和，单调递减区间为【小问2详解】对任意的，且，都有成立不妨令，则恒成立，即恒成立，令，，则当，时，， 故在上单调递增，又当时，图像开口向上，对称轴为①若，即时，当时，在上单调递增，符合题意；②若，即时，当时，上单调递增，符合题意；③若，即时，（1）若，即时，当时，，在单调递减，在单调递增，不符合题意；（2）若，即时，当即时，在上单调递增，此时．综上所述：实数的取值范围为【点睛】思路点睛：与分段函数有关的函数的单调性，应分别讨论各段的单调性，如果涉及到二次函数的单调性，则需讨论对称轴与范围端点之间的大小关系.