浙江省台州市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集，集合，，则等于（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求，然后由交集运算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A2.命题“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在写命题否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以的否定即为.故选：C.3.设，则“”是“”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由得，由得，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法错误的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或【答案】B【解析】【分析】先求得的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于的不等式的解集为或，所以（A选项正确），且，整理得，由得，所以不等式的解集是，所以B选项错误.，所以C选项正确.， 解得或，所以D选项正确.故选：B5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.或B.或C.或D.【答案】A【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，解得，或.故选：A．6.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可得函数在及时，单调递减，且，进而即得.【详解】由题意可知：在上单调递减，即；在上也单调递减，即；又是上的减函数，则，∴， 解得．故选：C．7.已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解.【详解】对，满足，等价于函数在上单调递增，又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.则可化为，解得.故选：B.8.函数，.若存在，使得，则的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C【解析】【分析】令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值. 【详解】因为存在，使得，故.令，，则，故，因为故，故.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数，，，，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.是的充要条件【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，，由不等式的同向可加性可得，故B正确；对于C，，由不等式的同向可加性可得，故C正确；对于D，若，明显，不能得出，充分性不成立，故D错误.故选：BC10.已知函数，则（） A.的定义域为B.的图象关于直线对称C.D.的值域是【答案】AC【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A，利用特值可判断，直接求函数值可判断C，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由，可得，所以的定义域为，则A正确；因为，，所以，所以的图象不关于直线对称，则B错误；因为，所以，则C正确；因为，所以，且，所以，且，当时，，即，当时，，即，所以的值域是，故D错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.，B.，C.，，若，则有D.方程的解集为 【答案】BCD【解析】【分析】对于A：取，不成立；对于B：设，讨论与求解；对于C：，，由得证；对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设,，当时，，，则，则，,故当时成立.当时，，则，则，故当时成立.综上B正确.对于C：设，则，，则，因此，故C正确;对于D：由知，一定为整数且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取， 由解得或(舍)，故，所以或，当时，当时，所以方程的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.12.函数，，其中.记，设，若不等式恒有解，则实数的值可以是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为；分别在和的情况下，得到与的大致图象，由此可得确定的解析式和单调性，进而确定，由可确定的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式恒有解，只需即可.， 令，解得：或；令，解得：或；①当，即时，则与大致图象如下图所示，，在上单调递减，在上单调递增，，不合题意；②当，即时，则与大致图象如下图所示， ，在，上单调递减，，上单调递增；又，，若，则需，即，解得：；综上所述：实数的取值集合，，，，，AB错误，CD正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定与图象的相对位置，从而得到的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．【答案】【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；∴，函数定义域为，在上单调递增，不等式等价于，解得；则实数的取值范围是.故答案为：14.已知，，且，则的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得，当且仅当，时，等号成立．故答案为：1815.若函数的图象关于直线对称，则_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得，取特殊值求得，再检验满足即可得，【详解】由题意，即，所以，即，解得，此时， ，满足题意．所以，．故答案为：7．16.设函数存在最小值，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；②当时，，当时，，故函数存在最小值；③当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.若，则不存在最小值，故，解得.此时满足题设；④当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.因为，所以，因此不存在最小值.综上，的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围；（2）命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.（2）根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由于，①当时，，解得，②当时，或，解得．综上所述，实数的取值范围为．【小问2详解】命题，命题，若p是q的充分条件，故，所以，解得；所以实数的取值范围为．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1302102520 320X425319205305292063585920745181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为元()，可得：，.【小问2详解】按照表格，级数3，；按照级数2，；显然，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为元，所以此时，解得，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明为奇函数；（2）求证在上是增函数；（3）若，解关于的不等式.【答案】（1）,证明见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令，得.，所以函数奇函数；【小问2详解】证明：在R上任取，则，所以.又，所以函数在R上是增函数.【小问3详解】由，得，.由得.因为函数在R上是增函数，所以，解得或.故原不等式的解集为或.20.已知函数.（1）讨论函数的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当时，的最大值是，求的值.【答案】（1）答案见解析 （2）1或3【解析】【分析】（1）对进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得的值.【小问1详解】当时，＝，则＝＝，即为奇函数，当时，＝，，，则不是奇函数，，则不是偶函数，∴当时是奇函数，当时，是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，，函数的开口向上，对称轴为；函数的开口向下，对称轴为.1、当，即时，在上是增函数，∵，∴在上是增函数；2、当，即时，在上是增函数，∵1，∴在上是增函数；∴或，在上的最大值是，解得（舍去）或；3、当，即时，在上为增函数，令，解得或（舍去）.综上，的值是1或3. 【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义或来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数，.（1）若对任意，存在，使得，求的取值范围；（2）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将题目条件转化为的值域包含于的值域，再根据的两端点的函数值得到对称轴为，从而得到，进而求出的取值范围；（2）将不等式化简得不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，求出即可求解.【小问1详解】设当，的值域为，当，的值域为，由题意得，∴，得，此时对称轴为，故，即得或，综上可得.【小问2详解】 由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，令，由题意得，而，设，则，而，易得，故.即实数的取值范围为.22.已知函数在区间上的最大值为1．（1）求实数a值；（2）若函数，是否存在正实数，对区间上任意三个实数r、s、t，都存在以、、为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由题意，，然后分，两种情况讨论函数的单调性，即可得出结果；（2）由题意，可证得在为减函数，在为增函数，设，，则，从而把问题转化为：，时，求实数取值范围．结合的单调性，分，，，四种情况讨论即可求得答案. 【小问1详解】由题意，①当时，函数在区间上递减，所以，得（舍去）．②当时，函数在区间上递增，所以，得．综上所述，．【小问2详解】由题意，又，由（1）知函数在区间上递增，∴，即，所以函数在区间上的值域为．又因为，∴，令，则，当，时，，所以，为减函数；当，时，，所以，为增函数； ∴在为减函数，在为增函数，设，由（1）知，∴；所以，在区间上任意三个实数r、s、t，都存在、、为边长的三角形，等价于，．①当时，在上单调递增，∴，，由，得，从而．②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，由得，从而．③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，由得，从而．④当时，在上单调递减，∴，，由得，从而．综上，．