浙江省绍兴市上虞中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题（Word版附解析）

上虞中学2023学年第一学期期中测试高一数学一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题只有一项是正确的）1.设集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】解：，，故选：C.2.若幂函数的图象经过点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，即可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：C.3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据根式的性质以及指数不等式即可求解.【详解】的定义域满足，解得，故选：A4.已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是 （）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】解：由题意，对于都有成立，∴，解得：，即实数的取值范围是.故选：D.5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，由，，故C错误， 故选：A.6.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合图象求出a的范围即可．【详解】解：画出函数f（x）的图象，如图示：方程有三个不同的实数根，即y＝f（x）和y＝a的图象有3个不同的交点，结合图象：0＜a＜1，故选：A．7.已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，所以在上是单调递减，且.所以，当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；故满足的的取值范围是故选：B8.已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，分别讨论，，三种情况，即可求出结果.【详解】因在上单调递减，因此；若，则的最大值为，符合题意；若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得，显然时，的最大值为，时，的最大值不为定值．综上可得：时，在上的最大值是.故选A【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数单调性，灵活运用分类讨论的思想即可，属 于常考题型.二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下满足的集合A有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，则所有符合条件的集合A为,,.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC10.下列命题正确的有（）A.，B.不等式的解集为C.是的充分不必要条件D.若命题：，，则：，【答案】BCD【解析】【分析】举反例判断A，根据一元二次函数的性质判断B，根据充分条件和必要条件的定义判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D．【详解】当时， ，所以 ， 是假命题，A错误；因为恒成立，则不等式 的解集为，B正确；因为，则，又当时，，但，所以由不能推出，所以是的充分不必要条件，C正确；若命题：，，则： ，，D正确．故选：BCD． 11.已知是正数，且，下列叙述正确是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可直接求解AC，根据完全公式即可求解B,根据乘“1”法即可由不等式求解.【详解】对于A选项，由基本不等式得，解得，当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确．对于B选项，，当且仅当，时，的最小值为，B正确．对于D选项，，当且仅当，，即时等号成立，故的最小值为，D错误．对于C选项，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为1,C正确，故选：ABC．12.已知函数，，对任意，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判 断.【详解】对选项A，，，故选项A错误；对选项B，，，则，故选项B正确；对选项C，不妨设，则，故，故选项C正确；对选项D，因为是奇函数，在上递减则要使恒成立只需：只需：只需：而，故，故选项D正确故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知函数，是偶函数，则a+b=________.【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答.【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得，显然，，即，整理得，而不恒为0，于是得，解得，所以. 故答案为：414.函数的单调递减区间为__________，值域为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】空①，根据复合函数的单调性进行讨论即可;空②，由结合指数函数的单调性求解结果.【详解】函数的定义域为R，，，值域为设，，在区间上单调递减，在区间1，上单调递增，为减函数，在区间上单调递增，在区间1,上单调递减.故答案为：；15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及指数函数的单调性即可列不等式求解.【详解】由于函数在上单调递增，所以需要满足：，解得，故答案为：16.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】 【解析】【详解】分析：应用换元法，令，，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.详解：函数对称轴，最小值令，则恒成立，即在上.，在单调递增，，解得，即实数的取值范围是故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法．四、解答题（本题共6题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤）17.设集合，，全集.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，再根据交集的定义求；（2）由得到，再根据集合间的包含关系列不等式即可.【小问1详解】由得，因为，所以，所以. 小问2详解】因为，所以，①当时,；②当时，，即，综上所述，.18.（1）已知幂函数在递增，求实数的值.（2）化简求值.【答案】（1）-1；（2）7.【解析】【分析】（1）根据函数是幂函数，求得m，再由函数在递增验证即可；（2）利用根式和指数幂的运算求解.【详解】解：（1）因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，在递减，不成立；当时，在递增，成立，所以实数的值为-1.（2），，，.19.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． （1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.【小问1详解】由已知可得，篱笆总长为．又因为，当且仅当，即时等号成立．所以当时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得，又因为，所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．20.已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值及函数的值域； （2）证明：为定值；并求的值．【答案】（1），的值域为（2）证明见解析；100【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解，理由分离常数即可结合不等式的性质求解值域，（2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解，进而可求解.【小问1详解】由题意有，解得或（舍去），则，∵，∴，，，∴，函数的值域为.【小问2详解】，.21.已知定义在上的函数满足：对任意、都有，且当时，.（1）求的值，并证明：为奇函数；（2）证明：函数在上单调递增；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令可求得的值，令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立；（2）设，则，，作差，并判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）由奇函数的性质结合函数的单调性可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】令，可得，可得.因为函数的定义域为，在等式中，令，有，所以，，所以为奇函数.【小问2详解】令，则，设，则，所以，，即，所以，函数在上单调递增.【小问3详解】因为，所以，，又函数在上单调递增能，所以，，则.令，则，于是， 当且仅当时，取最大值，所以，实数的取值范围为.22.已知函数．（1）若，解方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】（1）当时，，故有，当时，由，有，解得或当时，恒成立∴方程的解集为或（2），若在上单调递增，则有，解得，∴当时，在上单调递增（3）设则不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．， 当时，单调递减，其值域为，由于，所以成立．当时，由，知，在处取最小值，令，得，又，所以