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浙江省绍兴市柯桥区柯桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析)

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浙江省柯桥中学高一数学学科2023学年第一学期期中考试试题卷(满分:100分,时间:120分钟)一、选择题:共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求解,并写出区间形式即可.【详解】.故选:C2.已知幂函数的图象经过点,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式,即可得解.【详解】设幂函数,所以,解得,所以,故.故选:C.3.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由题意得,不等式,解得或, 所以“”是“”的充分而不必要条件,故选A.考点:充分不必要条件的判定.4.已知函数,若,则实数的值为(    )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式求得,继而可得,可得,即可求得答案.【详解】由题意可得,故,所以,故选:A5.已知,则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较,运用中间量比较【详解】则.故选B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.6.已知是定义在上的奇函数,当时,.若函数在区间,上单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质,可推出在,上单调递增,从而得 ,解之即可.【详解】当时,,由二次函数的单调性可知在,上单调递增,又因为是定义在上的奇函数,所以在,上单调递增,综上,在,上单调递增,又函数在区间,上单调递增,所以,解得,所以实数的取值范围是,.故选:C.7.函数的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为,因为,所以为奇函数,所以的图象关于原点对称,所以排除A,当时,,所以排除C, 当时,,因为和在上递增,所以在上递增,所以排除B,故选:D8.奇函数满足,当时,,则=()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由,可得到函数的周期是4,利用函数的周期性和奇偶性,将转化为,代入函数解析式求解即可.【详解】解:已知奇函数满足,是以4为周期的奇函数,又当时,,,故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是()A.已知,则的值为11B.若,则函数的最小值为C.函数是偶函数D.函数在区间内必有零点【答案】AD【解析】 【分析】令,求得,可判定A正确;结合基本不等式,可判定B错误;根据函数的定义和奇偶性的定义,可判定C错误;根据函数零点的存在性定理,可判定D正确.【详解】A中,由函数,令,可得,所以A正确;B中,若,由,当且仅当时,即时,显然不成立,所以B错误;C中,由函数,则满足,解得,即函数的定义域为,不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,所以C不正确;D中,由函数,可得,所以,所以函数在内必有零点,所以D正确.故选:AD.10.下列命题为真命题的是()A.“”的否定为“”B.函数的单调递减区间为C.函数与函数是同一个函数D.若方程在区间上有实数解,则实数的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】由含量词命题的否定法则可直接判定选项A;先求定义域,再利用复合函数的同增异减的法则,可求出单调减区间,即可判定选项B;化简函数,即可判定选项C;通过分参法即可求解参数的范围,则选项D可判定.【详解】“”的否定为“”,故选项A错误;中,即 解得,则定义域,又的增区间为,由复合函数同增异减可得函数的单调递减区间为,故选项B正确;由于,可知两者解析式不一致,则函数与函数不是同一个函数,故选项C错误;由,可得,又,则,又,所以故选项D正确;故选:BD.11.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:则下列命题中正确有()A.的定义域是,值域是B.点是的图像的对称中心,其中C.函数满足D.函数在上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据新定义,得到值域是,在对各选项由定义逐一判定即可.【详解】因为,所以,所以可得值域是,选项A正确; 由于,,但是由于值域是,可知不是中心对称图形故选项B错误;,选项C正确;当时,单调增当时,单调增,可得分段函数在不单调,故选项D错误.故选:AC.12.已知函数的图象关于对称,且对,,当,且时,成立,若对任意恒成立,则实数的可能取值为()A.B.C.0D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据题意,得到函数为偶函数,且在上为单调递增函数,把不等式转化为对任意恒成立,当时,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】因为函数的图象关于对称,所以函数的图象关于对称,可得函数为偶函数,又因为当,且时,成立, 所以函数在上单调递增函数,由对任意恒成立,所以对任意恒成立,当时,恒成立;当时,,因为,当且仅当时,即时,等号成立,所以,即实数的取值范围为,结合选项,BCD项符合题意.故选:BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分.13.函数的定义域是_________.【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可;【详解】解:因为,所以,解得且,故函数的定义域为;故答案为:14.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=________.【答案】0【解析】【详解】当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-x,-f(x)=-ax2-bx,故x2-x=-ax2-bx,所以-a=1,-b=-1,即a=-1,b=1,故a+b=0.15.已知,则的最小值为_______. 【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为,所以,则.因为,所以,当且仅当,即时,等号成立.故答案为:16.设函数,则函数的零点的个数为_______.【答案】【解析】【分析】分别画出函数和的图像,根据图像得出结论.【详解】因为,所以,转化为,如图所示,画出函数和的图像, 当时,有一个交点,当时,,此时,故是函数的一个零点,因为,,满足,所以在有两个交点,因为,,满足,所以在有两个交点,因为,,,所以在内没有交点,当时,恒有,所以两个函数没有交点所以,函数的零点个数为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)求值;(2)解不等式;(3)已知,求的值域.【答案】(1)8;(2)(3);.【解析】【分析】(1)可由指对数的运算公式直接求解;(2)可将,化为,再求解即可;(3)利用配方法可直接求解.【详解】(1) ;(2)由可得,解得:,所以不等式的解为;(3),又,可得则函数的值域.18.已知函数(且)是定义在R上的奇函数.(1)求及的值;(2)求函数的值域.【答案】(1);.(2)【解析】【分析】(1)可用特值法先求出的值,再检验是否是奇函数,再代值求;(2)先分离常数得到,接着可用直接法,由的范围,得到的范围,再利用不等式的性质得到的范围,最后得到的范围,继而可求函数的值域.【小问1详解】因为函数(且)是定义在R上的奇函数,所以,可得,则,可得, 经检验:,所以为奇函数,.【小问2详解】,因为所以继而所以,则,即,所以函数的值域.19.已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)确定函数的解析式;(2)用定义证明在上是增函数;(3)解不等式:.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)由解出,可确定函数的解析式;(2)用定义证明函数的单调性;(3)利用奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】 由题意,得,∴(经检验符合题意),故.【小问2详解】证明 任取,且,则.∵,∴,,.又,∴.∴,即,∴在上是增函数.小问3详解】由(2)知在上是增函数,又在上为奇函数,,∴,∴,解得.∴不等式的解集为.20.已知函数.(1)求函数的定义域,并判断函数的奇偶性;(2)对于,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);为奇函数(2)【解析】【分析】(1)根据题意,结合函数奇偶性的定义和判定方法,即可求解; (2)根据题意,利用对数函数的性质,转化为,不等式恒成立,结合换元法和对勾函数的性质,即可求解.【小问1详解】解:由函数,则满足,解得或,即函数的定义域为,关于原点对称,又由,所以函数在定义域上的奇函数.【小问2详解】解:因为对于,不等式恒成立,所以对于,不等式恒成立,所以对于,不等式组恒成立,可得对于,不等式恒成立,令,则函数在区间单调递增函数,所以,所以,所以实数的取值范围为.21.已知二次函数(,,为实数).(1)若的解集为,求不等式的解集;(2)若不等式对任意恒成立,求的最大值.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)结合一元二次不等式的解集得到与的关系,从而解不等式即可求出结果;(2)由题意可得,分、讨论进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.小问1详解】因为的解集为,所以是方程的两个根,所以,且,,可得,,所以,解得,所以不等式的解集为;【小问2详解】为二次函数,所以,由得对任意恒成立,可得,即,可得,当时,,;当,设,则,则,当且仅当即且时等号成立,所以的最大值为.22.已知函数.(1)当时,求函数的单调递增区间; (2)求所有的实数,当,使得对任意时,恒成立;(3)若存在,使得关于的方程有三个不相等的实数根,求实数的取值范围.【答案】(1)增区间为、,减区间为;(2);(3).【解析】【分析】(1)写出的分段函数形式,结合二次函数的性质确定单调区间;(2)令,问题化为在上恒成立,讨论、、、、,结合二次函数性质研究恒成立求参数范围;(3)由题意,存在使有三个不相等的实数根,由时递增不符合,只需研究,结合二次函数、对勾函数性质及方程有解求参数范围.【小问1详解】由题设,对于在上递增;对于,在上递增,在上递减;所以增区间为、,减区间为.【小问2详解】由题设,若对任意时,恒成立,令,在上恒成立,当时,则,而开口向下且对称轴为,若,即时,在上递增,此时最大值,不合题意;若,即时,在上递增,在上递减,此时最大值,不 合题意;当时,此时,不合题意;当时,则时递减,此时,而时递增,此时即可,故,所以,此时,满足题设;当时,,且递增,此时,不合题意;综上,.【小问3详解】由题设,存在,使关于的方程有三个不相等的实数根,由(2)知,,在处连续,当时,开口向上且对称轴为,故上递增,开口向下且对称轴为,故上递增,此时,在整个定义域上递增,故不可能有三个不相等的实数根;当时,此时,在、上递增,上递减, 此时,只需,根据对勾函数的性质,在上递增,故,存在,使有三个不相等的实数根,故.【点睛】关键点点睛:第二问,注意讨论参数a的范围,结合二次函数性质确定参数范围;第三问,首先判断出时递增,再研究研究的单调区间,数形结合求参数范围.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-12-22 07:55:01 页数:18
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文章作者:随遇而安

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