浙江省绍兴市柯桥中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

浙江省柯桥中学2023年秋季高一入学考试数学试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合P＝{x|x+2≥x2}，Q＝{x∈N||x|≤3}，则P∩Q＝（）A.[﹣1，2]B.[0，2]C.{0，1，2}D.{﹣1，0，1，2}【答案】C【解析】【分析】解不等式x+2≥x2求出集合P，再求出集合Q，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x+2≥x2，得，∴集合P＝{x|x+2≥x2}＝，又∵集合Q＝{x∈N||x|≤3}＝{0，1，2，3}，∴P∩Q＝{0，1，2}，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.化简的结果是（）A.6B.C.D.【答案】D【解析】【分析】两个根号里面均提公因式即可配成完全平方公式，从而可求计算求解.【详解】 故选：D3.“”是“且”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由不等式的性质，得：由且可得到，但反之不成立（如：，不能得到且，所以“”是“且”的必要而不充分条件；故选B．考点：充分条件与必要条件的判定．4.下列函数不是偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义，检验是否满足，即可求解.【详解】A,B,C选项都满足，是偶函数，，D选项为奇函数，故选：D【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于容易题.5.函数图象大致为（） A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.【详解】因为函数，定义域为，关于原点对称，又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；又当时，，排除选项D.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.6.设，，若，则的最小值为（）AB.4C.9D.【答案】D【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：D7.若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数，∴f（4）＜f（3）＜f（2），即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），故选：C．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．8.已知函数则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在是增函数C.函数的图象上至少存在两点使得直线∥x轴D.函数的图象关于直线对称【答案】A【解析】【分析】先把函数的分子化成常数，再画出函数的图象，观察图象，即可得出正确的选项． 【详解】∵，则函数的图象是由反比例函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到到，故其图象如图所示：∴函数在上是减函数，排除B，D；显然函数的图象与常数函数的图象最多只有一个交点，故排除C；又∵，∴函数的图象关于点对称.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）已知集合，则有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.【详解】由题得集合， 由于空集是任何集合的子集，故A正确：因为，所以CD正确，B错误.故选ACD.【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.对于实数、、，下列命题中正确的是（）A.若，则；B.若，则C.若，则D.若，，则，【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性质判断．【详解】若，则由得，A错；若，则，　，B正确；若，则，∴，∴，C正确；若，且同号时，则有，因此由得，D正确．故选BCD．【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．11.函数的图象关于直线对称，那么（）A.B.C.函数是偶函数D.函数是偶函数【答案】ABC【解析】【分析】根据满足的函数的对称性，确定AB 选项的正确性，利用函数图像变换以及偶函数的性质，判断CD选项的正确性.【详解】若函数满足，则的图象关于对称.对于A选项，，则的图象关于对称，符合题意；对于B选项，，则的图象关于对称，符合题意；对于C选项，的对称轴为轴，图象向右平移一个单位得到图象，所以的图象关于对称，符合题意；对于D选项，的对称轴为轴，图象向左平移一个单位得到图象，所以的图象关于对称，不符合题意；故选：ABC【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图像变换，考查函数的奇偶性，属于基础题.12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③.则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，，使得【答案】CD【解析】【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.【详解】根据题中条件知，函数为R上的偶函数；根据题中条件知，函数在上单调递增.根据函数单调性得，，选项A错误；是R上的偶函数，且在上单调递增时，，解得，选项B错误；或 解得或，即时，，选项C正确；根据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减在R上有最小值，故选项D正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题4分．13.分解因式：____________．【答案】【解析】【分析】将三项分成一组利用十字相乘法分解，将两项分成一组利用提公因式法分解，再利用提公因式法即可得到答案.【详解】原式故答案为：14.已知实数x，y满足方程组，则____________．【答案】13【解析】【分析】根据立方和公式、完全平方和公式即可求解．【详解】，把代入，可得，． 故答案为：1315.已知函数，则_________．【答案】【解析】【分析】利用换元法，求得的表达式，进而求得的表达式.【详解】令，故，所以，所以.故填：.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查函数的对应关系，属于基础题.16.是奇函数，且函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________________【答案】【解析】【分析】结合奇函数性质有，可解得，画出函数图像，即可求解【详解】由题可知：，即，解得，所以，画出函数图像，如图：函数图像的单增区间为，要满足函数在上单调递增，则有，解得故答案为： 【点睛】本题考查由奇偶性求解具体参数，增减性求解具体参数范围，属于基础题四、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（1）集合，所以或，当时，集合，所以或；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，因为，所以且等号不同时成立，解得，所以实数a的取值范围为【点睛】解题的关键是根据题意，可得，再根据集合的包含关系，即可求得答案，易错点为，要注意集合B中左右边界的大小关系，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.18.已知.(1)解关于的不等式；(2)若不等式解集为，求实数的值．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】(1)由f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，得a2－6a－3<0，求解即可；（2）f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.【详解】(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.∴原不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，等价于解得.19.已知函数，且．（）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．（）证明函数为上是增函数．（）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（）在定义域上为奇函数；（）见解析；（）在上最大值为，最小值为.【解析】【详解】试题分析：（1）先将f（1）=2代入，求出a的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；（2）利用定义法求函数的单调性；（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在[2，5]上的单调性，再求最值．试题解析：（）∵，，∴，∴， ，∴在定义域上为奇函数．（）证明：设，∵，，，，∴，，∴在为增函数．（）∵在单调递增在上，，．点睛：明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.20.已知二次函数，．（1）如果函数单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求的最大值和最小值，并指出此时x的取值；（3）求的最小值，并表示为关于a的函数．【答案】（1）；（2）当时，，当时，；（3）．【解析】 【分析】（1）根据函数开口向上，对称轴为，进而结合题意得：，解不等式即可得答案；（2）由题知，进而根据二次函数性质即可得答案；（2）根据题意，分，，三种情况讨论函数单调性求解最小值即可.【详解】解：（1）因为函数开口向上，对称轴为，若函数在上单调递减，则，解得：.故当函数单调递减，实数的取值范围是：.（2）当时，，所以当时，函数取得最小值.当时，函数取得最大值.（3）因为函数开口向上，对称轴为，所以当，即：时，函数在上为单调递减函数，故；当，即：时，函数在上为单调递增函数，故；当，即时，函数在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，故；综上，.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值和单调性问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题第三问解题的关键在于由二次函数的单调性分，，三种情况讨论求解.