新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题20平面向量在圆锥曲线中的应用（附解析）

微专题20　平面向量在圆锥曲线中的应用一、单项选择题1．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点H，过点H的直线与抛物线交于A，B两点，且＝3，则||＝(　　)A．B．4C．4D．82．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，直线l：y＝－(x－2)与渐近线和y轴分别交于点M，E，且＝3，则双曲线C的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．x2－＝1D．－y2＝13．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]已知M，N是椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且·的最大值是a2，则椭圆C的离心率是(　　)A．B．C．D．4．[2023·河北沧州模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(4，n)(n>0)为C上一点，且|AF|＝5，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则·＝(　　)A．5B．－4C．3D．－35．[2023·重庆巴南模拟]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率e＝(　　)A．B．C．D．6．[2023·安徽宿州模拟]已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且＋＝2，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．2二、多项选择题7．已知点M(1，0)，P是圆N：x2＋y2＋2x－15＝0上的动点，G为平面内一点．若直线NP上一点Q满足2＝＋且·＝0，则∠MQN不可能为(　　)A．B．C．D．8．[2023·湖北十堰模拟]已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).直线y＝(x＋c)与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|＝4，则下列说法正确的有(　　) A．双曲线的离心率为D．|F1M|＝|F2A|[答题区]题号12345678答案三、填空题9．已知A，B，C，D，E为抛物线y＝x2上不同的五点，抛物线焦点为F，满足＋＋＋＋＝0，则||＋||＋||＋||＋||＝________．10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c，0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，则椭圆C的离心率为____________．四、解答题11．[2023·河北衡水模拟]已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行l2的直线交l1于点A，过动点E作平行l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线E0，若过点M(1，0)的直线m与曲线E0交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为定值．解：12．[2023·山东泰安模拟]已知点M(0，1)和点N(x0，2)(x0>0)之间的距离为2，抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线NA，NB上，且＝λ(－)，＝μ(－)(O为坐标原点).(1)求直线l的倾斜角的取值范围；(2)求λ＋μ的值．解： 微专题20　平面向量在圆锥曲线中的应用1．解析：由抛物线对称性可知，不妨令A，B均在x轴上方，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝3可得：y1＝3y2，设直线HA的方程为：x＝my－1，与y2＝4x联立可得：y2－4my＋4＝0，∴y1y2＝4，解得y1＝2，代入y2＝4x可得：x1＝3，∴||＝x1＋1＝4.故选B.答案：B2．解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝－(x－2)交y轴于点E(0，)，而F(2，0)，由＝3，得－＝3(－)，即＝＋＝(，)，显然点M(，)在直线y＝x上，则b2＝3a2，又a2＋b2＝4，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.答案：C3．解析：由题意知M，N是椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，故·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，由椭圆的范围可知，∈[b，a]，故·的最大值为a2－b2，则a2－b2＝c2＝a2，∴＝，即椭圆C的离心率是.故选C.答案：C4．解析：由题意得，抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为A(4，n)为C上一点，且|AF|＝5，所以|AF|＝4＋＝5，n2＝8p，n>0，解得p＝2，n＝4，故抛物线C：y2＝4x，焦点为F(1，0)，A(4，4)，所以AF的方程为y＝(x－1)， 代入C：y2＝4x，得(x－1)2＝4x，整理得4x2－17x＋4＝0，解得x＝或x＝4，因为B为C上一点，则y＝4×，由于A在第一象限，所以yB＝－1，所以B(，－1)，所以·＝1－4＝－3.故选D.答案：D5．解析：因为F1M＝，所以点M为线段PF1的中点，因为2＝＋OF2，所以－＝OF2－，即＝NF2，所以点N为线段PF2的中点，又因点O为线段F1F2的中点，所以OM∥PF2且|OM|＝|PF2|，ON∥PF1且|ON|＝|PF1|，所以四边形MONP的周长为|PF1|＋|PF2|，又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2a＝4b，即＝，故椭圆C的离心率e＝＝＝.故选C.答案：C6．解析：根据题意，由＋＝2可得原点O是AB的中点，所以A，B两点关于原点对称；不妨设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，C(x0，y0)，因为k1k2≠0，所以x0≠x1，x0≠－x1，易知k1＝，k2＝，又因为A、B，C都在双曲线－＝1(a>0，b>0)上， 所以|k1|·|k2|＝，由基本不等式可知|k1|＋|k2|≥2＝，当且仅当|k1|＝|k2|＝时等号成立；所以＝1，即a2＝4b2＝4(c2－a2)，可得＝，即离心率e＝.故选A.答案：A7．解析：将圆N化为标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，则N(－1，0)，半径R＝4.由2＝＋，·＝0，知G为MP的中点，且QG⊥PM，∴|PQ|＝|QM|，∴|QN|＋|QM|＝|QN|＋|QP|＝4.又∵M(1，0)，∴|MN|＝2<4，∴点Q的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆(不包括左、右顶点)，其方程为＋＝1(x≠±2).当Q为椭圆的上顶点时，Q(0，)，此时sin∠OQM＝＝＝(O为坐标原点).由∠OQM∈(0，)，得∠OQM＝，∴∠NQM＝，∴0<∠MQN≤.故选BCD.答案：BCD8．解析：如图，连接AF2，BF2，MF2，设|AF1|＝x，因为|AB|＝4，a＝1，所以|AF2|＝|BF2|＝|MF1|＝x＋2，D正确．又M为线段AB的中点，所以MF2⊥AB.又tan∠BF1F2＝，所以|MF2|＝c，|MF1|＝|AF2|＝c，则|AM|＝c＝2，得c＝，所以双曲线的离心率为＝，A不正确； 不正确．故选BD.答案：BD9．解析：抛物线y＝x2的准线方程为y＝－1，焦点坐标为(0，1).设A，B，C，D，E的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，y5，∵＋＋＋＋＝0，∴y1－1＋y2－1＋y3－1＋y4－1＋y5－1＝0，∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5，根据抛物线的定义，可得||＋||＋||＋||＋||＝y1＋1＋y2＋1＋y3＋1＋y4＋1＋y5＋1＝10.答案：1010．解析：因为|PM|＝2|MN|，|PF1|＝2|PF2|，所以F2N∥F1M，且|F2N|＝|F1M|，延长MF1交椭圆于点Q，则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝，则|QM|＝a，|F2M|＝，|F2Q|＝，得|QM|2＋|F2M|2＝|F2Q|2，所以∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F2F1|得()2＋()2＝(2c)2，化简得5a2＝9c2，所以a＝3c，所以离心率e＝＝.答案：