突破新高考数学精选压轴题 第25讲 三角形面积问题（原卷版）

第25讲三角形面积问题一．解答题（共19小题）1．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．2．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积最大值时的直线的方程．3．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率；（3）求面积的最大值．4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的 右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点．当的面积最大时，求直线的方程．5．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）．（1）求证：直线过定点；（2）求与面积之和的最小值．6．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．7．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围． 8．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为．（1）求椭圆的离心率的值；（2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，，求△内切圆面积的最大值．10．已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且△的面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与 的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，椭圆离心率．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若△的面积为，求直线的方程．13．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点，是坐标平面内一点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值．15．已知抛物线上有一点到焦点的距离为．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，．试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由． 16．已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，设直线与抛物线交于两点，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．（ⅰ）求证：点在定直线上；（ⅱ）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．18．已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．19．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离 为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值．