突破新高考数学精选压轴题 第23讲 定点问题（原卷版）

第23讲定点问题一．选择题（共1小题）1．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点　　A．B．C．D．二．解答题（共18小题）2．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆上异于点的任意两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．5．已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，．为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且 ．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线过定点．6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．（1）求抛物线的方程；（2）证明直线过定点．7．已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，，设，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为线段的中点，求；（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．9．已知椭圆，为其左焦点，点，，，分别为椭圆的左、右顶点，且，．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点．10．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点．（Ⅰ）求直线与的斜率之积；（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．证明：以为直径的圆恒过点． 11．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．（1）求；（2）证明：直线恒过定点．12．已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图（1）证明：为定值；（2）若的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线恒过一个定点．13．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．14．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．15．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标； （3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．16．过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求线段的长；（Ⅱ）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．17．如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标．18．已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为．（1）当的面积为时，求的值；（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．19．已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点．（Ⅰ）求直线与的斜率乘积的值； （Ⅱ）设，，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．