突破新高考数学精选压轴题 第23讲 定点问题（解析版）

第23讲定点问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点　　A．B．C．D．【解答】解：因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，，且半径的平方是，所以圆的方程是，①又，②，②①得，，即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点，，故选：．二．解答题（共18小题）2．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标． 【解答】（1）解：设圆的标准为，把代入得，故圆的标准方程为．（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长为8，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，则，所以，，根据弦长为8，可得，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或；（3）证明：当直线斜率不存在时，设，，直线，的斜率之积为2，，，即，点在圆上，，联立，无解，舍去，当直线斜率存在时，设直线，，，，，①联立方程， ，，代入①，得，化简得，直线的方程为：，所以过定点．3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得解得：，．所以椭圆的方程为．（2）由题意可知直线的斜率不为0，．若直线斜率存在，设直线的方程为，，，，，联立得．由题意可知△恒成立，所以，．假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，所以．所以，所以，所以，所以，所以，所以．若直线斜率不存在时，则，两点关于轴对称，当点坐标为时，轴平分．综上所述，在轴上存在一点，使得轴平分．4．已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆 上异于点的任意两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为．（2）由知直线，的斜率存在且不为0．设直线的斜率为，直线的方程为，，得．解得或．当时，，即，用代替，得于是直线的斜率，直线的方程为，整理得，当，时，对任意的，恒成立，所以直线过定点．5．已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，．为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且．（1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点．【解答】解：（1）由题意知，，，所以，解得，故椭圆的标准方程为．证明：（2）设直线的方程为，，，，，联立，消去得，则有，所以，即，因为，，所以，，，解得，所以直线的方程为，故直线过定点．6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． （1）求抛物线的方程；（2）证明直线过定点．【解答】解：（1）由题意可得双曲线的焦点为，，即有抛物线的焦点，则，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，，设切线方程为，联立得：①，由．设两条切线的斜率分别为，，则，，由①知等根为，故设，，则，所以直线的方程为：，化简得．所以直线过定点．7．已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）椭圆过点，离心率为．，解得，，椭圆的方程为．（2）由题意得，设，，直线的方程为，即， 代入椭圆方程并化简，得：，，，同理，，，直线的方程为，即，此时直线过定点，当时，直线即为轴，此时也过点．综上，直线恒过定点，且定点坐标为．8．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，，设，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为线段的中点，求；（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．【解答】（1）解：由题意，且右焦点，所求椭圆方程为；（2）解：设，，，，则①，②②①，可得；（3）证明：由题意，，设，，直线的方程为，即，代入椭圆方程并化简得， 同理，，当时，直线的斜率直线的方程为即此时直线过定点当时，直线即为轴，此时亦过点综上，直线恒过定点，且坐标为．9．已知椭圆，为其左焦点，点，，，分别为椭圆的左、右顶点，且，．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点．【解答】（1）解：，，又，，整理得，，则．椭圆的方程为；（2）证明：由已知直线与轴不垂直，假设其过定点，设其方程为，联立，得．设，，，，则，．，．，． ，．即．化简得：，若，则与重合，不合题意，，整理得．综上，直线过定点．10．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点．（Ⅰ）求直线与的斜率之积；（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．证明：以为直径的圆恒过点．【解答】解：（Ⅰ）．设点，，则有，即，．（Ⅱ）证明：设，，，，与轴不重合，设直线，由化简得，； 由题意可知△成立，且；；将代入上式并化简得，．，即以为直径的圆恒过点．11．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．（1）求；（2）证明：直线恒过定点．【解答】解：（1）设点，，，，由题意，设直线，由得，△，，又，．（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，，，三点共线，，，即，，即， ，，，即，，直线的方程是，即，，由式可知，代入上式，得，令，解得，直线恒过定点．12．已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图（1）证明：为定值；（2）若的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线恒过一个定点．【解答】证明：设点，，、、三点共线，，即，，，（2分）．（5分）解：设，则， ，，．（8分）又，，，与的夹角为．（10分）（Ⅲ）证明：设点，、、三点共线，，，，，即，，，即，（12分），直线的方程是，即，即，由式，，代入上式，得，直线过定点．13．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上， 所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；（2）设，，，，，，则，，直线的斜率，则直线的方程为：，即①，同理可得直线的方程整理可得②，将，分别代入①，②的方程可得，消可得，易知直线，则直线的方程为：，即，故，所以，因此直线恒过定点．14．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设，，，，联立，整理可得：，所以可得，，进而可得， 由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，，，，，，由，，三点共线可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三点共线，，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点．15．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标； （3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的方程化为，，．（2分）抛物线的焦点坐标为．（4分）（2）联立方程组，解得点坐标为．（6分）联立方程组，解得点坐标为．（7分）所以直线的方程为，（8分）令，解得．点的坐标为．（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点．（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为，则另一条为，联立方程组，解得点坐标为．（11分） 联立方程组，解得点坐标为，．（12分）所以直线的方程为，（13分）令，解得．直线恒过定点．（14分）16．过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求线段的长；（Ⅱ）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）把点的坐标代入抛物线可得，所以抛物线的方程为：，由题意可得直线的方程为：，即，与抛物线联立，整理可得：，解得：或，可得交点或，所以；（Ⅱ）设直线为：，，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，，，因为，所以，，，，整理可得：，整理可得：，即，，可得不是恒成立，或（符合△，所以直线为：， 即，直线恒过点．17．如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，，即．（2分）椭圆的右焦点到直线的距离为．，．（4分）解得，又，，故椭圆的方程为．（5分）（2）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意，不妨设直线的方程为，由，消去得，设，，，，则，．（7分）以为直径的圆过椭圆右顶点，，即．（9分），解得或（舍（11分）故直线恒过定点．（12分）18．已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为． （1）当的面积为时，求的值；（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆方程：，则，，，由三角形的面积，，则，解得：，的值为；（2）由线段过直径的圆过点，则，设直线的斜率为，则直线的斜率为，为，设，，，，则，整理得：，则，则，故，则，，直线的方程为，同理可得：，，当的斜率不存在时，显然可得，此时，，，，则圆心为，，由直线总穿过轴，证明当的斜率存在时，也过点，，当的斜率存在时，，综上可知：过定点，． 19．已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点．（Ⅰ）求直线与的斜率乘积的值；（Ⅱ）设，，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）．设点，，则有，即，．（Ⅱ）假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点；设，，，，与轴不重合，设直线的方程为，，由化简得，，由题意可知△成立，且，；，，，，将，代入上式可得，，即， 即，即，解得，（舍去）或．故．