突破新高考数学精选压轴题 第22讲 轨迹方程（解析版）

第22讲轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点．，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，，则外接圆半径的最小值为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，先固定直线，设，则（C）（D），其中为定值，故点，，在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为，阿波罗尼斯圆会把点，其一包含进去，这取决于与谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，的延长线与圆交于点，即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，，综上，；当直线无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，，，，则由根与系数的关系有，，，注意到与异号，故， 设，则，故，又，故选：．2．方程表示　　A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：方程变形为：，表示点到定点与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线．故选：．3．若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹为　　A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为，动圆圆心为，点在动圆上，又定圆的圆心为，半径为2，定圆与动圆相外切圆心距由此可得（常数）， 点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支故选：．4．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为　　A．B．C．D．【解答】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，，，故点的轨迹方程为．故选：．5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点轨迹方程是　　A．B．C．D．【解答】解：由，得其焦点坐标为，设线段中点为，，，由中点坐标公式得：，，是抛物线上的点， ，即，．故选：．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为，，动点满足条件，动点的轨迹方程是　或．　．【解答】解：设，，则，它们是直线、的倾角还是倾角的补角，与点在轴的上方还是下方有关；以下讨论：①若点在轴的上方，，，此时，直线的倾角为，的倾角为，，，，，得：，，．当时，，为等腰直角三角形，此时点的坐标为，它满足上述方程．②当点在轴的下方时，，同理可得点的轨迹方程为，③当点在线段上时，也满足，此时．综上所求点的轨迹方程为或．故答案为：或．7．设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为　　 【解答】解：如图，连接，根据垂直平分线的性质，，由已知得，，所以，同时，因此点的运动轨迹为椭圆，设其方程为，，所以其方程为．故答案为：．8．已知点，，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹方程为　　．【解答】解：因为的垂直平分线与交于点，所以．所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，这里，，，，， 所以点的轨迹方程为：．故答案为：．9．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则的方程为　　．【解答】解：由圆，可知圆心；圆，圆心，半径3．设动圆的半径为，动圆与圆外切并与圆内切，，而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，，，．曲线的方程为（去掉点故答案为：．10．方程所表示的曲线是　双曲线　．【解答】解：方程化为：．表达式的几何意义是：平面内动点到定点，与到定直线的距离的比为的点的轨迹，，不在直线上，轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，则动点的轨迹方程是　　．【解答】解：点到定点的距离是，点到直线的距离是，， 化简为．故答案为．12．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点、，且、，、分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为　　．【解答】解：由题意，直线的方程为，直线的方程为，两式左右分别相乘得①、在椭圆上，，，代入①可得故答案为：三．解答题（共28小题）13．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线，求的方程，并说明是什么曲线．【解答】解：点，，动点满足直线与的斜率之积为，，化简得， 即曲线的方程为，曲线是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5，得，化简得．即．点的轨迹方程是，所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆．（2）设，，，根据题意有，所，点在圆上，所以有，所以，所以，所以的中点的轨迹方程为．15．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．【解答】解：因为，，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以（5分）由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（10分） 16．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求直线被曲线截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．设动圆的圆心为，半径为．圆与圆外切并且与圆内切，，由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得，，，，椭圆方程为；（2），以为圆心，为半径的圆与圆公共弦所在直线为的方程为，联立曲线与直线，可得，△，设交点，，，，则，中点的横坐标为，代入直线，得中点的纵坐标为，所求中点坐标为，．17．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若直线与曲线相切，求的值． 【解答】解：（1）圆，圆，设动圆半径为．在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：动圆与圆外切，则，动圆与圆内切，则，，即到和到的距离之和为定值．是以、为焦点的椭圆．的中点为原点，故椭圆中心在原点，，，，，，的方程为；（2）由，得：，若直线和曲线相切，则△，解得：．18．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．【解答】解：圆，圆，设动圆半径为．在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：动圆与圆外切，则，动圆与圆内切，则，，即到和到的距离之和为定值．是以、为焦点的椭圆．的中点为原点，故椭圆中心在原点，，，，，，的方程为． 19．已知圆的方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：圆与圆外切，如图，，即，，由双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中，，．故所求轨方程为．20．已知两圆，．动圆与两圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆，，动圆与两圆，都相切，，即点在线段，的垂直平分线上又，的坐标分别为与其垂直平分线为轴，动圆圆心的轨迹方程是；②若一内切一外切，不妨令与圆内切，与圆外切，则到的距离减去到的距离的差是，由双曲线的定义知，点的轨迹是 以与为焦点，以为实半轴长的双曲线左支，故可得，故此双曲线的方程为．同理与圆外切，与圆内切，此双曲线的方程为．此双曲线的方程为．综①②知，动圆的轨迹方程为或．21．在三角形中，，的内切圆与相切于点，，求顶点的轨迹方程．【解答】解：如图，设、分别为圆与、的两个切点，则，，又，，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，且，，，轨迹方程为．故答案为：．22．直角三角形的直角顶点为动点，，，，作于，动点满足，当动点运动时，点的轨迹为曲线，（1）求曲线的轨迹方程； （2）求曲线的轨迹方程；（3）设直线与曲线交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的最大值．【解答】解：（1）直角三角形的直角顶点的轨迹为圆：；（2）设，，，则，，，动点满足，，解得，，代入曲线的轨迹方程可得，化为．（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，．坐标原点到直线的距离为，，化为．联立，化为，则，．又．，当且仅当时取等号．综上可得：的最大值为2．23．动点到点的距离与它到直线的距离相等，求动点的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其开口方向向右，且，解得，所以其方程为． 故答案为：．24．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为，半径为，圆，定圆圆心为，半径，两圆外切，，又动圆与直线相切，圆心到直线的距离，，即动点到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可得，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，即，故动圆圆心的轨迹方程为．25．设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程．【解答】解：设，，由题意可得，，设，由点满足．可得，，可得，，即有，，代入椭圆方程，可得，即有点的轨迹方程为圆；故答案为：．26．在平面直角坐标系中，点，为动点，，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足 ，求点的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设，，．由题得，即，整理得，得（舍，或，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可得椭圆方程为，直线方程为．，的坐标满足方程组，消并整理得，解得，，得方程组的解为，，不妨设，，．设点的坐标为，则，，由得①，由即．将①代入化简得，代入①化简得．所以，因此点的轨迹方程为．27．设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程． 【解答】解：由知，，三点在同一条垂直于轴的直线上，故可设，，则即①再设，由得将①代入②式得又点在抛物线将③代入得整理得因为所以故所求的点的轨迹方程：28．已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接，，由，及，得，，是的中点，，，，，， ，，．（Ⅱ）设，，，，，，准线为，，设直线与轴交点为，，的面积是的面积的两倍，，，即．设中点为，由得，又，，即．中点轨迹方程为．29．已知点，，动点满足为和的等差中项．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过作直线交于，两点，求的中点的轨迹方程．【解答】解：（1），，，是与的等差中项，，即， 点在以，为焦点的椭圆上，，，又，，椭圆的方程是；（2）设中点，，，，，，，在椭圆上，①，②，①②得：，即．，整理得：．而适合上式，的中点的轨迹方程为．30．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．求的轨迹方程．【解答】解：圆的方程可化为，所以圆心为，半径为4．设，则，．由题设知，（6分）故，即．由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是．（12分）31．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，． （1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为为参数，，点，并且直线与曲线交于，两点，求．【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数，，整理得曲线的普通方程．（2）直线的参数方程为为参数，，代入；得到，所以，；故．32．如图，椭圆，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．（Ⅰ）求直线与直线交点的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆与相交，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．【解答】解：设，，，，则，，，，则直线的方程为① 直线的方程为②由①②可得：③，在椭圆上，代入③可得：；证明：设，，矩形与矩形的面积相等，均在椭圆上，，．，为定值．33．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程． 【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，故点的坐标为，根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，，故，因为，则，因为、是上的两个动点，则有，，故，整理可得，解得，由，消去可得，则有，，所以，解得，故直线的方程为，所以直线经过一个定点．（2）线段的中点坐标为，又直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，①同理，线段的垂直平分线的方程为，②由①②解得，设点，则有， 消去，得到，所以点的轨迹方程为．34．已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的焦点为，可得①，抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，由代入椭圆方程可得，即有②，解①②可得，，所以椭圆的方程为；（2）设直线，，，，，联立直线与椭圆方程，消去可得，则，，所以，，所以，，直线③， 直线的方程中，令可得，所以，因为直线，所以直线的方程为④，将③④联立相乘得到，即，所以点的轨迹为以，为圆心，为半径的圆，所以存在定点，，使得的长为定值．35．已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的面积；（Ⅲ）求证：直线与直线的交点的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，即，因为离心率为，所以，设，则，，又，即，解得或（舍去）， 所以，，，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）联立，得，所以，所以△，所以直线与椭圆无交点，所以的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线的方程为，设，，，，则，得则因为直线和椭圆有两个交点，所以△，则，设，因为，，在同一条直线上，则，因为，，在同一条直线上，则，由于，所以，所以交点恒在一条直线上，所以交点的纵坐标为定值为． 36．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足．问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，，化简得，故的方程为：，将代入椭圆的方程得：，所以，解得：，所以，所以椭圆的方程：；（2）设，，，，，，直线的方程为，则直线与轴的交点为，由，，得又，，所以，故的方程为，由得：，所以直线的方程为，即，所以直线过定点，所以在以为直径的圆上，所以存在定点，使的长为定值．37．已知椭圆的左、右焦点分别为，，．点在上， ，△的周长为，面积为．（1）求的方程．（2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线和交点的轨迹方程；②是否存在实常数，使得恒成立；③过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点．【解答】解：（1）依题意，，解得，所以椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为，选择①，联立方程，化简整理得：，假设，，，，由韦达定理，得，所以，直线的方程：；直线的方程：，联立方程，得，两式相除，得 ，即，解得，所以直线和交点的轨迹方程是直线．选择②联立方程，化简整理，得，假设，，，，由韦达定理，得，所以于是，故存在实数，使得恒成立．选择③：设，，，，，，联立方程，得，化简整理，得，由韦达定理，得，直线与轴交于点，说明，，三点共线，于是，假设，即，亦即，则，所以 ，即，解得，所以直线恒过定点．38．已知抛物线，直线交于抛物线于、两点，．（1）求抛物线的方程．（2）互相垂直的直线、分别切抛物线于、两点，试求两切线交点的轨迹方程．【解答】解：（1）联立方程组，消去得：，，即．抛物线的方程为．（2）设，，，，由于，故，不妨设，，由可得，当时，，即，当时，，即．又，在抛物线上，，故直线的方程为：，即，即，①同理可得直线的方程为：．②由①②可得：，是关于的方程，即的两根．，，互相垂直，，即．，，即．两切线交点的轨迹方程为．39．已知椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线 的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，过点，分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点．双曲线的焦点，，椭圆中，，解得，，，椭圆的标准方程为：．（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，设在，处切线方程为，与椭圆联立，消去，得，由△，得，化简，得，由，得，，上式化为，，，椭圆在点处的切线方程为，①同理，得椭圆在点处的切线方程为，② 联立①②，消去，得：，解得，、都在直线上，，，，即此时的交点的轨迹方程为．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，，则椭圆在点处的切线方程为，椭圆在处的切线方程为，此时无交点．综上所述，过点，所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为．40．为一定点，是轴上的一动点，轴上的点满足，若点满足，求：（1）点的轨迹曲线的方程；（2）曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1），点，关于点对称，设，则，在轴上，，即．，，，，，即．点的轨迹曲线的方程是．（2）设曲线的两条互相垂直的垂线的交点坐标为，，切线的斜率为，则切线方程为，联立方程组，消元得：，△，即．，．曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线．