突破新高考数学精选压轴题 第21讲 向量的转换与计算（解析版）

第21讲向量的转换与计算参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，则的最小值是　　A．8B．C．16D．【解答】解：抛物线的焦点，设的方程：，的方程，，，，，，，，，由，消去得：，，．由，消去得：，，，（9分），．当且仅当，即时，有最小值16，（12分）故选：．二．解答题（共14小题）2．已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且．（Ⅰ）求和抛物线的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）准线交轴于，在中，，，，抛物线方程是，在中，，，，的方程是．（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，由，得：，设，，，，则，是上述方程的两个实根，，，，的斜率为，设，，，，则同理得，，． 当且仅当时，即时，取最小值16．3．已知抛物线过点．（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．【解答】解：（1）将代入，得，解得．故所求抛物线的方程为，其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得．直线与抛物线有公共点，△，解得，由直线与的距离，可得，解得．，，符合题意的直线存在，其方程为．（3）由题意可知：设，，，，设直线的斜率为，则 的方程为，联立，得，，．，直线的斜率为，方程为，设，，，．联立，化为，，．，当且仅当时取等号．当时，的最小值为16．4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、．（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值． 【解答】解：（1）点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，，抛物线的方程为；（2）设，，，，，，，由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为．由，得．，．，直线的斜率为，同理可得，．，当且仅当，即时，的最小值为16．5．如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于点，，抛物线的焦点为．（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与曲线相交于点，，与曲线相交于点，，求的最小值．【解答】解：（1）设，，，，由，得由已知得直线的方程是即， 则有，即①由与消去，得②所以③把③代入①得，解得当时方程②成为，显然此方程有实数根所以；（2）由（1）知抛物线方程为由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．得．设，，，，则，是上述方程的两个实根，于是，，则，，，，的斜率为．设，，，，则同理可得，，，．．当且仅当，即时，取最小值16．6．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设动点的坐标为，由题意得，化简得．当时，；当时，，所以动点的轨迹的方程为和． （Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为．由，得．设，的坐标分别为，，，，则，．，直线的斜率为．设，，，，则同理可得，．故，当且仅当，即时，的最小值为16．7．已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与椭圆相交于点，．与椭圆相交于点．，求的最小值．【解答】解：（1）椭圆的左焦点，右焦点点在椭圆上，椭圆的方程（2）设直线的方程由可得设，，，，则， ，直线的方程设，，，，则，，，，，同理当且仅当即时取得最小值8．设定点，动圆过点且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．【解答】解：（1）定点，动圆过点且与直线相切，依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线经为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得． 设，，，，则有，．，的斜率为．设，，，，则同理可得，．故．当且仅当，即时，取得最小值16．9．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求的最小值．【解答】解：设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，，，， 椭圆的标准方程为．（4分）右顶点的坐标为．设抛物线的标准方程为，，抛物线的标准方程为．（6分）（Ⅱ）设的方程：，的方程，，，，，，，，，由消去得：，，．由消去得：，，，（9分）．当且仅当即时，有最小值16．（13分）10．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，、、构成等差数列，可得，即，又，则，可得椭圆的方程为；（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，，，假设存在直线使成立，（ⅰ）当与轴垂直时，满足的直线的方程为或，当时，，，的坐标分别为，，．，当时，同理可得，即此时的直线不存在；（ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，由与垂直相交于点且，得，因为，，，可得，将代入椭圆方程，得，由根与系数的关系得，，，即为，即，矛盾，故此时的直线也不存在．综上可知，使成立的直线不存在． 11．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且．是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，，，设，，，则，，直线与交于，故，①且，②①②相乘得，又点是圆上的动点，故，（4分）要使为定值，则，解得．此时． 即时，点的轨迹曲线的方程为．（2）设，两点的坐标分别为，，，，假设使成立的直线存在，（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且．得，即，．即，将代入椭圆方程，得由求根公式可得，④⑤，将④，⑤代入上式并化简得⑥将代入⑥并化简得，矛盾，即此时直线不存在；（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，，，的坐标分别为，，，，，当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在． 12．椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆方程为，则，设右焦点，则，解得，则，则椭圆的方程为；（2）设，两点的坐标分别为，，，．假设使成立的直线存在．①当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且．得，即．①，．，即有，即．将代入椭圆方程，得．与有两个交点，，，．② ．③将②代入③得．化简，得．④，由①、④得，不成立．②当垂直于轴时，则为轴，点坐标为，，．，，，不合题意．综上，不存在上述直线使成立．13．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）易得，，，设，，，则， 直线与交于，故，①且，②．①②相乘得，又点是圆上的动点，故即，要使为定值，则，解得，此时即时，点的轨迹曲线的方程为（2）设，两点的坐标分别为，，，，假设使成立的直线存在，（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且，得，即，，，即，将代入椭圆方程，得由求根公式可得，④⑤将④，⑤代入上式并化简得⑥将代入⑥并化简得，矛盾，即此时直线不存在，（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，，，的坐标分别为，， ；当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在．14．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知所以，又，因此故椭圆的标准方程为（6分）（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，，，假设使成立的直线存在，（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，，，即将代入椭圆方程，得由求根公式可得，因此将代入上式并化简得， 即此时直线不存在；（10分）（ⅱ）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，，，的坐标分别为，，当时，同理可得，矛盾，即此时直线不存在综上可知，使成立的直线不存在．（14分）15．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，所以，故直线斜率的取值范围是：；（Ⅱ）由知，，所以，，设直线的斜率为，则，即，则，， 联立直线、方程可知，，故，，又因为，故，所以，令，，则，由于当时，当时，故，即的最大值为．