突破新高考数学精选压轴题 第25讲 三角形面积问题（解析版）

第25讲三角形面积问题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，所以，，又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，所以椭圆的方程为：；（2）设，，，由，所以，，故面积的最小值为9；（3）设直线的方程为：，则点，联立，消去得，，，所以，则的中点的坐标为，又，得，则直线的方程为：， 令，得点的坐标为，则，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点，为，故或．2．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积最大值时的直线的方程．【解答】解：（1）由题意可知：，左焦点到椭圆上点的最远距离为3，即使，可解得：，，，所求椭圆的方程为：；（4分）（2）易得直线的方程：，设，，，，，其中，，在椭圆上，， （6分）设直线的方程为，代入椭圆：，整理得：，根据韦达定理可知：，，（8分），点到直线的距离为：丨丨丨丨，，（10分）当时，取最大值，此时直线的方程．（12分）3．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率；（3）求面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则由已知可得，且，解得，，所以， 所以椭圆的方程为；（2）设，，，，的中点为，，则，两式作差可得：，又，且，即，所以，故直线的斜率为；（3）由（2）设直线的方程为，则点到直线的距离为，联立方程，消去整理可得：，所以，所以，所以三角形的面积为，当且仅当，即时取等号，此时三角形的面积的最大值为．4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点．当的面积最大时，求 直线的方程．【解答】解：（1）设，由条件知．又，可得，，椭圆的方程：．（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设，，，将代入椭圆的方程：．得，当△，即．，从而．又点到直线的距离．所以的面积设，则，．当且仅当，等号成立，且满足△，所以当的面积最大时，的方程为：或．5．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）．（1）求证：直线过定点；（2）求与面积之和的最小值．【解答】解：（1）设直线的方程为：，点，，，，由，可得，①，点，，，在抛物线上可得，，②由①②可得或1（舍去），由可得 根据韦达定理有，直线过定点；（2）点，位于轴的两侧，不妨设在轴的上方，则，又焦点，．当且仅当，取“”号，与面积之和的最小值是3，6．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．【解答】解：（1）证明：设，，，，，，因为直线，的中点在抛物线上，所以，为方程的两个根，即，的两个不同的实数根，所以，所以垂直于轴． （2）根据题意可得，，设，，，，则，，所以，则或，因为，位于轴的两侧，所以，设直线的方程为，联立，得，所以，则，所以直线过定点，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为6．7．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设，，，，，中点为的坐标为，， 抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，，化简可得，为关于的方程的两根，可得，，可得，则垂直于轴；（另解：设，的中点分别为，，交于，为的中位线，，又为的中点，为的中点，设，，由，，，解得，所以垂直于轴）（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，可得，，，由（Ⅰ）可得，，由垂直于轴，可得面积为，可令， 可得时，取得最大值；时，取得最小值2，即，则在递增，可得，，面积的取值范围为，．8．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，，当轴时，则，，得；（2）设，，，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即．直线，联立，解得，；（3）设，，，，，， 直线，则，．联立，得．则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得．存在直线或满足题意．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为．（1）求椭圆的离心率的值； （2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，，求△内切圆面积的最大值．【解答】解：（1）设点的坐标为，，点的坐标为，，则线段的中点为，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，直线和直线的斜率之积为，由于点、在椭圆上，则有，上述两式相减得，化简得，所以，，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，由于，得，由于，得，所以，，，所以，椭圆的标准方程为，△的周长为，椭圆的右焦点为，设直线的方程为，设点，、，，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，△，由韦达定理可得，，△的面积为，令，则，所以，， 由于函数在区间，上单调递增，所以，当时，△的面积取到最大值，设△的内切圆的半径为，则，所以，，当△的面积取到最大值时，其内切圆的半径取到最大值，因此，△内切圆面积的最大值为．10．已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且△的面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．【解答】解：（1）依题意，显然当在短轴端点时，△的面积最大为，即，又由离心率为，，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）因为，所以，所以，所以，当斜率不存在时，，不合题意，当斜率存在时，设直线方程为，设点，，，，则，两式作差得：，即， 故直线的方程为：，联立，解得，联立，解得，因为，所以，即，解得：，所以直线的方程为．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，，，又，联立方程组可解得：，，所以椭圆的方程为．（2）设，依题意，，，因为，所以，即，又在椭圆上，满足，即，，解得，即，直线，联立方程组，解得． （3）存在直线或，使得与的面积满足，设，，，，，，直线（斜率不存在时不满足题意），则，．联立方程组，整理得．则，．由直线的方程：，得纵坐标．由直线的方程：，得纵坐标，由，得．所以，所以，，代入根与系数的关系式，得，解得．存在直线或满足题意．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，椭圆离心率．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若△的面积为，求直线的方程．【解答】解：（1）可得，，，椭圆的方程为：． （2），该直线的方程设为，联立可得．设，，，，则，．△的面积．解得．直线的方程为．13．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点，是坐标平面内一点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设，，由，即为，，，即有，又，解得，又，则，，因此所求椭圆的方程为：；（2）动直线的方程为，由，得，设，，，， 则，，假设在轴上存在定点，满足题设，则，，，，，由假设得对于任意的，恒成立，即，解得．因此，在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点，点的坐标为这时，点到的距离，，，设则得，，，， 所以，当且仅当时，上式等号成立．因此，面积的最大值是．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，则由椭圆的定义可得，所以，又，所以，则，故椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）值，，则可设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设，，，，则，，所以，原点到直线的距离为，所以三角形的面积为，令， 所以，当时，函数单调递增，所以当时，，故三角形的面积的最大值为．15．已知抛物线上有一点到焦点的距离为．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，．试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．【解答】解：由抛物线，可得焦点，抛物线上的点到焦点的距离为．，．，把代入抛物线方程，解得．联立，得：，△，即，，．，，，， 的面积．16．已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，设直线与抛物线交于两点，，，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积．【解答】解：（1）点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为，点到抛物线的焦点与到点，的距离之和的最小值为，，，抛物线的方程为；（2）联立直线与抛物线得：，△，即，，．，，，，，，的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．（1）求椭圆的方程； （2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．（ⅰ）求证：点在定直线上；（ⅱ）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．【解答】解：（1）抛物线的焦点，因为在椭圆上，所以，又因为离心率，所以可得，所以椭圆的方程为：；（2）设，，因为，所以，在点的切线的方程，即，设，，，，，联立，整理可得：，由△，得且，，因此，将其代入，得，所以，所以直线的方程为， 联立方程，解得点的纵坐标为，所以点在定直线上；由知直线的方程为，令，得，所以，又，，，，所以，，，设，则，当，即时，取到最大值，此时，满足式，所以点的坐标为，．18．已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．【解答】解：（1）设，由条件知，得，又， 所以，，故的方程；（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设，，，，将代入，得，当△，可得，即或，，，从而，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足△，所以当的面积最大时，的方程为：或．19．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为，则由题意得得或 （舍去），所以椭圆方程为．（Ⅱ）因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点、、能构成三角形，直线不过原点，则弦与垂直，故可设直线程为，由消去，并整理，得，设，，，，又△，所以，，因为，所以，即，所以，即，因为，所以．又点到直线的距离，因为，所以，所以，即的最大值为．