突破新高考数学精选压轴题 第24讲 定值问题（原卷版）

第24讲定值问题一．解答题（共19小题）1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明．（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．3．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．4．已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．5．已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由．6．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点．设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；求面积的最大值．7．已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 8．已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点．（1）若，求点坐标；（2）问：是否为定值．9．已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．10．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，椭圆．（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围； （2）若，①是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；②过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值．12．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．13．已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值．14．如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为．是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点．（1）求证：．（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得在弦 运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．16．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．17．已知圆的方程为，直线，设点，．（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数．①若直线过点，求直线的斜率； ②试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且△的周长为6．（1）求椭圆的方程；（2）若，，在直线上的射影分别为，，，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，，试问：当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．19．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点．证明：直线与直线的斜率之积为定值．