突破新高考数学精选压轴题 第24讲 定值问题（解析版）

第24讲定值问题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明．（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线的方程为点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点双曲线的一个焦点为可得的另一个焦点为（1分）由（3分），又，所以（4分）双曲线的方程为（Ⅱ）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线交抛物线于点，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，定值是2（6分）证明如下：由于直线与轴不垂直，可设直线的方程为联立方程可得由题意与有两个交点，，则，△设，，，则，， 线段的中点的坐标（8分）的垂直平分线的方程为令可得，即，（9分）（10分）（Ⅲ）过圆锥曲线的焦点作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线交于，两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点，则为定值，定值是（其中是圆锥曲线的离心率）（13分）（法二）由题意可设双曲线的方程为（1分）由已知可得（3分）解可得，双曲线的方程为（4分）（Ⅱ），（Ⅲ）同法一2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由． 【解答】解：中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点，设椭圆方程为，把代入，得：，整理，得，解得，或，椭圆的方程为（4分）“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是4”（5分）证明如下：由于与轴不垂直，可设直线的方程为①当时，由．依题意与有两个交点、，所以△．设，，，，则，，所以线段的中点的坐标为，（7分）的垂直平分线的方程为：．令，解得，即，所以．（9分）又，（10分） 所以．（11分）②时，易得结论成立．综上所述，结论成立．^（12分）3．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，所以，椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得，所以，解得：，，所以柯圆的标准方程为：．方法二：由椭圆定义；，，得到：，即，又，得，所以椭圆的标准方程为：．（2）证明：设直线的方程为：．得，， 设过点且平行于的直线方程：，．4．已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3，，解得，，椭圆的方程为：．（2）方法一（点差法），设，，，，，，为的中点，，两式相减可得，即， ，，直线方程为，即；方法二：易知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为，即，由，消可得，，设，，，，，，为的中点，，，解得，即直线为，即；（3）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程为，且，设，，，．由得，，，由（1）得，，，， ，（定值）．5．已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．，解得，，．椭圆的方程为．（2）当轴时，，，直线、的方程分别为，．分别化为：，．联立解得．猜测常数．即存在定直线，使得与的交点总在直线上．证明：当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，．联立，化为．，．，，，三点，，共线．，由于，，，要证明三点，，共线．即证明．即证明，而， 成立．存在定直线，使得与的交点总在直线上．综上可知：存在定直线，使得与的交点总在直线上．6．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点．设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；求面积的最大值．【解答】解：上顶点在直线上，，由得，即，椭圆的方程为；存在实数，使得．设，，，，则，直线的斜率，，直线的斜率，设直线的方程为，由题意知，，由得，，由题意知，，直线的方程为，令，得，即，，即， 存在常数使得结论成立．直线的方程，令，得，即，由知，，的面积为由于，当且仅当时等号成立，此时取得最大值，面积的最大值为．7．已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，，由，解得，，所以，所以椭圆的方程：；（2）由（1）知，设，，由，，，得，所以，代入椭圆方程得，解得．所以，，因此的方程为：； （3）设直线的方程，，，，，联立方程组，消去，整理得：，则，，，所以，直线的方程为，又，令，则，所以点的坐标为，即，所以．因此为定值，定值为0．8．已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点．（1）若，求点坐标；（2）问：是否为定值．【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，，设，由椭圆的第二定义得：，解得，，在椭圆上，，解得，，或，． （2）设直线的方程为，不妨取，，把，代入直线，得，直线的方程为，联立，得，解得，，，，，的中点，，直线的方程为，令，得，，，，故为定值．9．已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，△面积的最大值为， ，解得，，故椭圆的方程为．（2）设，，，，轴，．设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，化简整理可得，，由韦达定理可得，，，，，故为定值，定值为．10．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，则满足方程组，解得，，所以椭圆方程为，（2）设直线的方程为，联立方程，消去整理得，△，设点，，，，，，的中点，，则，所以，的垂直平分线的方程为，令得，因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为．（3）假设存在，设，．结合第（2）问知：，所以所以 设则对任意恒成立，所以，解得，，所以存在点，使得为定值．11．在平面直角坐标系中，椭圆．（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；（2）若，①是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；②过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）由题意得，，解得，所以实数的取值范围是；（2）因为，所以椭圆的方程为，①设点坐标为，则，因为点的坐标为，所以，，所以当时，的最小值为，此时对应的点坐标为；②由，，得，即，从而椭圆的右焦点的坐标为，右准线方程为，离心率，设，，，，的中点，，则，，两式相减得，，即，令，则线段的垂直平分线的方程为， 令，则，因为，所以，因为．故，即为定值．12．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．【解答】（1）解：由题意，且右焦点，，．所求椭圆方程为：；（2）解：设，，，，设方程为．由，得．，． 三角形面积，当且仅当时，取等号；（3）①证明：由题意，，令直线的斜率为，则的斜率为，设，，直线的方程为，代入椭圆方程并化简得．，．；同理可得，．直线的斜率，直线的方程为，即，此时直线过定点；②证明：直线的方程为，即，直线的方程为，即．则点到距离的平方，到距离的平方．点到直线，的距离的平方和为，为定值．13．已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解答】解：（1）设，，，，则，两式相减得，，所以，即．又所在直线的方程是，所以，，，所以，．故椭圆的方程是．（2）设直线交椭圆于，，，，由，消去得，．因此，．于是．故为定值，且为15．14．如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为．是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点．（1）求证：．（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）证明：，由到直线的距离为，即，故抛物线方程为，，依题意，设直线方程为，联立得：，设，，，，，，，，；（2）将代入得，，，，，若有成立，则有解得，故存在，使成立．15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得， 由椭圆的定义可得△的周长为，又因为△的周长为8，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线的方程为，联立，得，设，，，，所以，，设的中点为，，所以，，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，，所以， 当时，直线的方程为，此时，，所以，综上，．16．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．【解答】解：（1）设圆的标准为，把代入得，故圆的标准方程为．（2）①不存在时，根据题意，直线的方程为：；②存在时，设直线的方程为：，联立方程，则，所以，根据弦长为8，可得，所以，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或；（3）当不存在时，设，，直线，的斜率之积为2，，，即， 点在圆上，，联立，无解，舍去，当直线存在时，设直线，，，，，①联立方程，所以，代入①得，化简得，所以直线的方程为：，所以过定点．（4）设直线，联立方程，所以点的坐标为，同理点的坐标为．所以，故直线的斜率是定值，且为．17．已知圆的方程为，直线，设点，．（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数．①若直线过点，求直线的斜率；②试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）当点的坐标为时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 直线与圆相交．（5分）（2）①由点在圆上，且，，得，即．由题意，是圆的直径，所以点的坐标为，且．又直线和的斜率互为相反数，所以（7分）直线的方程为，由得：，解得：或，所以直线的斜率为．（10分）②记直线的斜率为，则直线的方程为：．将代入圆的方程得：，化简得：，是方程的一个根，，，由题意知：，同理可得，，（13分），，不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值．（16分）18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且△的周长为6．（1）求椭圆的方程；（2）若，，在直线上的射影分别为，，，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，，试问：当变化时，以 线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】（1）解：当时，直线的倾斜角为，由题意得，解得，，，椭圆的方程为；（2）由（1）知，，直线的方程为，设，，，，由，可得．．当直线与轴垂直时，可得与的交点为的中点，当直线与轴不垂直时，下面证明过定点，由题意可知，，，．，即过定点，同理可证也过定点，直线与相交于一定点，该定点的坐标为；（3）由题意可得直线的方程为， 令，得点坐标为，同理可得，设为以为直径的圆上任意一点，则，以为直径的圆的方程为．令，则．即，即，即．即，解得或．即以为直径的圆恒过与，当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是定值6．19．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点．证明：直线与直线的斜率之积为定值．【解答】解：（1）如图，由已知，圆心，半径．点在线段的垂直平分线上，则，又，，又，，则动点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，从而，故所求轨迹方程为； （2）由已知，直线过点，且不过点，则斜率存在，设，将其代入得，则△成立，设，，，，则，显然，设直线与直线的斜率分别为，，则，即直线与直线的斜率之积为定值．