适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练3（附解析）

规范练3(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35.(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.2.(12分)(2023浙江杭州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列{1dn}的前n项和Tn.3.(12分)(2023湖南株洲一模)如图1,已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿对角线BD将其翻折,使∠ABC=90°,设此时AC的中点为O,如图2.图1图2(1)求证:点O是点D在平面ABC上的射影;(2)求直线AD与平面BCD所成角的余弦值. 4.(12分)(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B);②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828 规范练31.解(1)∵cosC=35且0<C<π,∴sinC=45.∵4a=5c,∴ac=54.由正弦定理得asinA=csinC,∴sinAsinC=ac=54,∴sinA=54×sinC=54×45=55.(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,c2=112+(54c)2-2×54c×11×35,c2=112+516c2-33510c,即1116c2+33510c-112=0,整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+6452×5=45(负值舍去),∴a=54×45=5.∴S△ABC=12absinC=12×5×11×45=22.2.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn=n+12n,∴Tn=1d1+1d2+…+1dn=221+322+423+…+n+12n,12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,两式相减,可得12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1=1+122-12n+11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,∴Tn=3-n+32n,n∈N*.3.(1)证明连接DO,因为DA=DC,O为AC的中点,所以DO⊥AC.设菱形ABCD的边长为2,因为∠ABC=90°,所以AC=22.连接BO,则BO=2.因为DA=DC=2,AC=22,所以DA2+DC2=AC2,所以DA⊥DC,所以DO=2.又BD=2,所以DO2+OB2=DB2,所以DO⊥OB.因为AC∩OB=O,AC⊂平面ABC,OB⊂平面ABC,DO⊄平面ABC,所以DO⊥平面ABC,所以点O是点D在平面ABC上的射影.(2)解设点A到平面BCD的距离为h,令菱形ABCD的边长为2,且∠DAB=60°,则∠DCB=60°,故△BCD的面积为12BC×DC×sin60°=12×2×2×32=3,则VA-BCD=13S△BCDh=33h.△ABC的面积为12BC×AB=12×2×2=2.由(1)知,DO⊥平面ABC,且DO=2,所以VD-ABC=13×S△ABC×DO=13×2×2=223.由VA-BCD=VD-ABC,得33h=223,解得h=263.设直线AD与平面BCD所成角为θ,则sinθ=hAD=2632=63,所以cosθ=1-sin2θ=33,即直线AD与平面BCD所成角的余弦值为33.4.解(1)零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.由题意可知,n=200, ∴χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(40×90-10×60)2100×100×50×150=24>6.635=x0.01.根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)①证明:R=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(B|A)P(B|A)·P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)·P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)·P(AB)P(AB)·P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)·P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B).②P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100=0.4,P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=10100=0.1,同理,P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=90100=0.9,P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=60100=0.6,∴R=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B)=0.4×0.90.6×0.1=6.∴指标R的估计值为6.