适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练3理（附解析）

规范练3(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.在①cos2A-C2-cosAcosC=34;②(sinA+sinC)2=sin2B+3sinAsinC;③2bcosC+c=2a这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B的大小;(2)若a+c=27,求△ABC周长的最小值.2.(本题满分12分)(2023四川成都三模)在多面体ABCDEFG中,已知四边形ADGC是正方形,GD∥EF,GF∥BC,FG⊥平面ADGC,M,N分别是AC,BF的中点,且BC=EF=12CG=12FG.(1)求证:MN∥平面AFG;(2)求直线MN与平面BEF所成角的正弦值.3.(本题满分12分)(2022全国乙,理19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2=0.038,∑i=110yi2=1.6158,∑i=110xiyi=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,1.896≈1.377. (二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023四川成都三模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+t,y=2-2t3(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若P是曲线C上一点,Q是直线l上一点,求|PQ|的最小值.2.(本题满分10分)(2023四川成都三模)已知函数f(x)=3x2-4x+4+|x-m|,且不等式f(x)<3的解集为(1,n).(1)求实数m,n的值;(2)若正实数a,b,c满足a2+b2+c2=m,证明:a4b2+1+b4c2+1+c4a2+1≥14. 规范练3(一)必做题1.解(1)选①.cos2A-C2-cosAcosC=1+cos(A-C)2-cosAcosC=34,即1-cosAcosC+sinAsinC2=1-cos(A+C)2=34,所以cos(A+C)=-12,所以cosB=12.又因为B∈(0,π),所以B=π3;选②.因为(sinA+sinC)2=sin2B+3sinAsinC,所以sin2A+sin2C+2sinAsinC=sin2B+3sinAsinC,即sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,由正弦定理得a2+c2-b2=ac.由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac=12.又B∈(0,π),所以B=π3;选③.因为2bcosC+c=2a,由正弦定理得2sinBcosC+sinC=2sinA,所以2sinBcosC+sinC=2sin(B+C)=2(sinBcosC+cosBsinC),即sinC·(2cosB-1)=0.因为sinC≠0,所以cosB=12,又B∈(0,π),所以B=π3.(2)由(1)知B=π3,则由余弦定理得,a2+c2-b2=ac.所以b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3×(a+c)24=(a+c)24=7,当且仅当a=c=7时取等号,所以b≥7.所以△ABC周长的最小值为37.2.(1)证明如图,设P是CG的中点,连接PM,PN.∵M为AC的中点,∴PM∥AG.又PM⊄平面AGF,AG⊂平面AGF,∴PM∥平面AGF.同理可得,PN∥平面AGF.∵PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN,∴平面PMN∥平面AGF.又MN⊂平面PMN,∴MN∥平面AGF.6分(2)解∵FG⊥平面ADGC,CG,DG⊂平面ADGC,∴FG⊥CG,FG⊥DG.以G为坐标原点,GD,GF,GC的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.不妨设BC=1,则G(0,0,0),M(1,0,2),N(0,32,1),B(0,1,2),E(1,2,0),F(0,2,0),MN=(-1,32,-1),BE=(1,1,-2),BF=(0,1,-2).8分设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z).由n·BE=0,n·BF=0,得x+y-2z=0,y-2z=0,令z=1,得n=(0,2,1).10分设MN与平面BEF所成角为θ,则sinθ=|cos<n,MN>|=|n·MN||n||MN|=2172×5=48585,∴直线MN与平面BEF所成角的正弦值为48585.12分3.解(1)依题意,x=0.610=0.06,y=3.910=0.39,故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06,平均一棵的材积量为0.39.(2)依题意,所求样本相关系数r=∑i=110(xi-x)(yi-y)∑i=110(xi-x)2∑i=110(yi-y)2=∑i=110xiyi-10xy(∑i=110xi2-10x2)(∑i=110yi2-10y2)=0.2474-10×0.06×0.39(0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392)≈0.97.(3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为0.390.06×186=1209(m3).(二)选做题1.解(1)由直线l的参数方程,得直线l的普通方程为2x+3y-8=0.2分将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入曲线C的极坐标方程,化简得曲线C的直角坐标方程为x24+y2=1.5分 (2)由(1),设点P(2cosα,sinα).6分由题知|PQ|的最小值为点P到直线l的距离的最小值.又点P到直线l的距离d=|4cosα+3sinα-8|22+32=|5sin(α+φ)-8|13,其中tanφ=43.8分当α+φ=π2+2kπ(k∈Z)时,d的最小值为31313,∴|PQ|的最小值为31313.10分2.解(1)∵f(1)=3,f(n)=3,且n>1,∴3+|1-m|=3,解得m=1.∴f(x)=3|x-2|+|x-1|.2分∴3|n-2|+|n-1|=3.①当1<n≤2时,由3(2-n)+(n-1)=5-2n=3,解得n=1(不合题意,舍去);②当n>2时,由3(n-2)+(n-1)=4n-7=3,解得n=52,经检验满足题意.综上所述,m=1,n=52.5分(2)由(1)得m=1,∴a2+b2+c2=1.∵(a4b2+1+b4c2+1+c4a2+1)(a2+1+b2+1+c2+1)≥(a2+b2+c2)2,∴a4b2+1+b4c2+1+c4a2+1≥11+3=14.当且仅当a4(b2+1)2=b4(c2+1)2=c4(a2+1)2,即a=b=c=33时等号成立.∴a4b2+1+b4c2+1+c4a2+1≥14.10分