适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练1理（附解析）

规范练1(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023四川成都三模)某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益.该公司统计了今年以来这款文创产品定价x(单位:元)与销量y(单位:万件)的数据如下表所示:产品定价x(单位:元)99.51010.511销量y(单位:万件)1110865(1)依据表中给出的数据,判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01);(2)建立y关于x的回归方程,预测当产品定价为8.5元时,销量可达到多少万件.参考公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x.参考数据:65≈8.06.2.(本题满分12分)(2023四川成都三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3c+a=bcosC-ccosB.(1)求角B的大小;(2)若D是AC边上一点,且BD=CD=13b,求cos∠BDA.3.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BD⊥PC,AD=AB=12BC=2.(1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)若PB=PC=22,E为线段AP的中点,求平面PBD与平面BDE所成锐二面角的余弦值. (二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023河南郑州二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosφ,y=1+sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=23cosθ.(1)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)直线l:θ=π6(ρ∈R)与曲线C1,C2分别交于M,N两点(异于极点O),P为C2上的动点,求△PMN面积的最大值.2.(本题满分10分)(2023河南郑州二模)已知函数f(x)=|ax-2|-|x-2|(a∈R).(1)当a=3时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥0,求a的取值范围. 规范练1(一)必做题1.解(1)由题得x=15(9+9.5+10+10.5+11)=10,1分y=15(11+10+8+6+5)=8.2分∵∑i=15(xi-x)(yi-y)=-8,∑i=15(xi-x)2=2.5,∑i=15(yi-y)2=26,5分∴r=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2∑i=15(yi-y)2=-865≈-0.99.∵y与x的相关系数近似为-0.99,说明y与x的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.6分(2)∵b^=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2=-82.5=-3.2,a^=y+3.2x=40,9分∴y关于x的线性回归方程为y^=-3.2x+40,10分当x=8.5时,y^=12.8.∴当产品定价为8.5元时,预测销量可达到12.8万件.12分2.解(1)∵3c+a=bcosC-ccosB,由正弦定理有3sinC+sinA=sinBcosC-sinCcosB,∵sinA=sin(B+C),∴3sinC+sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC-sinCcosB.∴2sinCcosB+3sinC=0.又C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosB=-32.又B∈(0,π),∴B=5π6.(2)在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=2b2-9a22b2.在△ABD中,由余弦定理得cos∠BDA=BD2+AD2-AB22AD·BD=5b2-9c24b2.∵∠BDC+∠BDA=180°,∴cos∠BDC=-cos∠BDA,即2b2-9a22b2=-5b2-9c24b2,整理得b2-c2=2a2.在△ABC中,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-32,则-a22ac=-a2c=-32,∴a=3c,∴b2-c2=6c2,即b=7c,∴cos∠BDA=5b2-9c24b2=1314.3.(1)证明取BC的中点F,连接AF,DF.∴AD∥BC,AD=AB=12BC,∴四边形ABFD为菱形,四边形AFCD为平行四边形.∴AF⊥BD,AF∥CD,∴CD⊥BD.又∵BD⊥PC,CD∩PC=C,CD,PC⊂平面PCD,∴BD⊥平面PCD.又∵PD⊂平面PCD,∴BD⊥PD.又∵平面PBD⊥平面ABCD,且平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PD⊥平面ABCD.(2)解∵PD⊥平面ABCD,PB=PC=22,∴△PDB≌△PDC,∴BD=CD.又∵CD⊥BD,BC=22,∴BD=CD=PD=2.又∵AD2+AB2=BD2,∴AB⊥AD,底面ABCD是直角梯形.以DB,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(2,0,0),A(1,-1,0),P(0,0,2),E(12,-12,1).DB=(2,0,0),DE=12,-12,1.平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),由DB·n=0,DE·n=0, 得2x=0,12x-12y+z=0,取n=(0,2,1).∴cos<m,n>=m·n|m||n|=21×5=255,∴平面PBD与平面BDE所成锐二面角的余弦值为255.(二)选做题1.解(1)由x=cosφ,y=1+sinφ消去φ,得x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ.C2的极坐标方程为ρ=23cosθ,即ρ2=23ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2-23x=0.综上,曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.(2)当θ=π6时,ρM=2sinπ6=1,ρN=23ρcosπ6=3,|MN|=|ρM-ρN|=2.当点P到直线MN的距离最大时,△PMN的面积最大.直线MN的方程为y=tanπ6x,即y=33x,圆心C2(3,0)到直线MN的距离为|1+0|1+13=32,∴点P到直线MN的最大距离d=32+3=332,∴S△PMN=12×|MN|×d=332.2.解(1)当a=3时,原不等式可化为|3x-2|-|x-2|>2.当x≥2时,原不等式可化为3x-2-(x-2)>2,整理得x>1,所以x≥2.当23<x<2时,原不等式可化为3x-2+(x-2)>2,整理得x>32,所以32<x<2.当x≤32时,原不等式可化为-(3x-2)+(x-2)>2,整理得x<-1,所以x<-1.综上,当a=3时,不等式f(x)>2的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞).(2)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥0,即|ax-2|≥2-x,即ax-2≥2-x或ax-2≤x-2,当ax-2≥2-x,a≥4x-1,a≥(4x-1)max=41-1=3,所以a≥3;当ax-2≤x-2,(a-1)x≤0,所以a≤1.所以a的取值范围为a≤1或a≥3.