2023届高考数学二轮总复习（新高考新教材）（三）中低档大题规范练2（Word版附解析）

规范练2(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022·湖南常德一模)设各项非负的数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=an+12-n(n∈N*),且a2,a3,a5成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=an+12an,求数列{bn}的前n项和Tn.2.(12分)(2022·河北石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosC-asinC=3b. (1)求角A的大小;(2)若a=2,求BC边上的中线AD长度的最小值.3.(12分)(2022·湖北武汉模拟)某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测,现有以下两种核酸检测方案:方案一:4人一组,采样混合后进行检测;方案二:2人一组,采样混合后进行检测.若混合样本检测结果呈阳性,则对该组所有样本全部进行单独检测;若混合样本检测结果呈阴性,则不再检测.(1)某家庭有6人,在采取方案一检测时,随机选2人与另外2名邻居组成一组,余下4人组成一组,求该家庭6人中甲、乙两人被分在同一组的概率;(2)假设每个人核酸检测结果呈阳性的概率都是0.01,每个人核酸检测结果相互独立,分别求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望,以较少检测次数为依据,你建议选择哪种方案?(附:0.992≈0.98,0.994≈0.96) 4.(12分)(2022·广东汕头二模)如图所示,C为半圆锥顶点,O为圆锥底面圆心,BD为底面直径,A为弧BD的中点,△BCD是边长为2的等边三角形,弦AD上存在点E使得二面角E-BC-D为30°,且AE=tAD.(1)求t的值;(2)对于平面ACD内的动点P总有OP∥平面BEC,请指出点P的轨迹,并陈述该轨迹上任意点P都可使得OP∥平面BEC的理由. 规范练21.解(1)当n=1时,2a1=a22-1.当n≥2时,2Sn=an+12-n,①2Sn-1=an2-(n-1),②①-②得2an=an+12-an2-1,即an+12=an2+2an+1=(an+1)2.∵an≥0,∴an+1=an+1,∴数列{an}从第2项起是公差为1的等差数列,∴an=a2+n-2(n≥2).又a2,a3,a5成等比数列,∴a32=a2a5,即(a2+1)2=a2(a2+3),解得a2=1.∴an=1+n-2=n-1(n≥2),∵2a1=a22-1,∴a1=0,适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=n-1(n∈N*).(2)bn=n2n-1,∴数列{bn}的前n项的和为Tn=120+221+322+…+n-12n-2+n2n-1,③12Tn=121+222+323+…+n-12n-1+n2n,④③-④得12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-12n-1-n2n=2-n+22n,∴Tn=4-n+22n-1.2.解(1)因为3acosC-asinC=3b,所以3sinAcosC-sinAsinC=3sinB.因为A+B+C=π,所以3sinAcosC-sinAsinC=3sin(A+C)=3(sinAcosC+cosAsinC),所以-sinAsinC=3cosAsinC.因为sinC>0,所以tanA=-3.因为A∈(0,π),所以A=2π3.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos2π3,所以4=b2+c2+bc.①因为AD为BC边上的中线,所以AD=12(AB+AC),所以|AD|2=AD2=14(AB+AC)2=14(c2+b2-bc).②由①得b2+c2=4-bc,③代入②得|AD|2=1-12bc,④ 由③得4-bc=b2+c2≥2bc,所以bc≤43,当且仅当b2+c2+bc=4,b=c,即b=c=233时,等号成立,代入④得|AD|2=1-12bc≥13,当且仅当b=c=233时,等号成立,所以AD≥33,AD长度的最小值为33.3.解(1)记该家庭6人中甲、乙两人被分在同一组为事件A,则P(A)=C22+C42C62=715.(2)每个人核酸检测结果呈阳性的概率为0.01,则每个人核酸检测结果呈阴性的概率为0.99.若选择方案一,记小组4人的检测次数为ξ1,则ξ1的可能取值为1,5,其分布列为ξ115P0.9941-0.994E(ξ1)=1×0.994+5×(1-0.994)=5-4×0.994≈1.16,于是得对该社区内8000人进行核酸检测的总次数X1的数学期望为E(X1)≈2000×1.16=2320.若选择方案二,记小组2人的检测次数为ξ2,则ξ2的可能取值为1,3,其分布列为ξ213P0.9921-0.992E(ξ2)=1×0.992+3×(1-0.992)=3-2×0.992≈1.04,于是得对该社区8000人进行核酸检测的总次数X2的数学期望为E(X2)≈4000×1.04=4160.显然E(X1)<E(X2),所以建议选择方案一.4.解(1)易知OC⊥平面ABD,OA⊥BD,以OD,OA,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,1,0),B(-1,0,0),D(1,0,0),C(0,0,3),BC=(1,0,3),AD=(1,-1,0),BA=(1,1,0),BE=BA+AE=BA+tAD=(1,1,0)+t(1,-1,0)=(1+t,1-t,0).易知平面BCD的一个法向量为OA=(0,1,0),设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·BC=x+3z=0,n·BE=(1+t)x+(1-t)y=0,令x=1,则平面BCE的一个法向量为n=1,t+1t-1,-33,可得cos30°=|OA·n||OA||n|=t+1t-112+t+1t-12+-332=32,解得t=13或t=3.又点E在弦AD上,故t=13.(2)点P的轨迹为过AD靠近点D的三等分点及CD中点的直线.理由如下:取AD靠近点D的三等分点,即DE的中点M,取CD的中点N,连接MN,OM,ON.由O为BD的中点,易知ON∥BC.又ON⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以ON∥平面BEC.又MN∥EC,MN⊄平面BEC,CE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又ON∩MN=N,所以平面OMN∥平面BEC,即O和MN所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC.又MN⊂平面ACD,故点P的轨迹即MN所在直线,