适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练4理（附解析）

规范练4(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023山东日照一模)已知△ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,asinA+C2=bsinA,且a=1.(1)求角B;(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值.2.(本题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面EAD⊥平面ABCD,△EAD为正三角形,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=π3,DE∥CF,DE=2CF.(1)求证:AE∥平面BCF;(2)求二面角E-AF-C的余弦值. 3.(本题满分12分)(2023广西南宁一模)在某次现场招聘会上,某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位,规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的题目有4道,乙每道题目能答对的概率为23,(1)求甲在第一次答错的情况下,第二次和第三次均答对的概率.(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙谁被录用的可能性更大?(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)在平面直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位,已知曲线C的参数方程为x=1+3cosθ,y=3sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=2+tcosα,y=1+tsinα(t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)求曲线C的普通方程;当α=π3时,求直线l的极坐标方程.(2)若曲线C和直线l交于M,N两点,且|MN|=10,求直线l的倾斜角.2.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)设函数f(x)=|2x-2|+|x+2|.(1)解不等式f(x)≤6-x;(2)令f(x)的最小值为T,正数a,b,c满足a+b+c=T,证明:1a+1b+4c≥163. 规范练4(一)必做题1.解(1)∵asinA+C2=bsinA,∴由正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.∵A∈(0,π),sinA≠0,A+C=π-B,∴sinπ-B2=sinB,即cosB2=sinB,∴cosB2=2sinB2cosB2,∵B∈(0,π),∴B2∈(0,π2),cosB2≠0,∴sinB2=12,∴B2=π6,即B=π3.(2)∵AC=BC,B=π3,∴△ABC为等边三角形,即AC=BC=AB=1,设AD=m,则BD=1-m,PD=m,∴在△BPD中,由余弦定理得cosB=BP2+BD2-PD22BP×BD=BP2+(1-m)2-m22BP×(1-m)=12,整理得BP2+(1-2m)=BP·(1-m),设BP=x,0≤x≤1,∴m=x2-x+12-x=(2-x)2-3(2-x)+32-x=2-x+32-x-3,由于0≤x≤1,故1≤2-x≤2,∴m=2-x+32-x-3≥23-3,当且仅当2-x=32-x=3时等号成立,此时x=2-3,∴AD的最小值为23-3.2.(1)证明如图,取AD,DE,BC的中点O,M,N,连接OM,MF,FN,ON,则MD∥CF,MD=12ED=FC,故四边形MDCF为平行四边形,所以MF∥CD,MF=CD.因为ON∥CD,ON=CD,故MF∥ON,MF=ON,故四边形OMFN为平行四边形,则OM∥FN,因为OM∥AE,所以AE∥FN,又FN⊂平面BCF,AE⊄平面BCF,故AE∥平面BCF.(2)解因为平面EAD⊥平面ABCD,连接EO,则EO⊥AD,平面EAD∩平面ABCD=AD,故EO⊥平面ABCD,连接OB,BD,因为∠DAB=π3,四边形ABCD为菱形,故三角形ABD为正三角形,则OB⊥AD,故以O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,设AE=2,则A(1,0,0),E(0,0,3),C(-2,3,0),F-32,3,32,则AE=(-1,0,3),AF=(-52,3,32),AC=(-3,3,0),设平面EAF的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·AE=0,m·AF=0,即-x1+3z1=0,-52x1+3y1+32z1=0,取x1=3,则y1=2,z1=1,即m=(3,2,1),设平面ACF的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·AF=0,n·AC=0,即-52x2+3y2+32z2=0,-3x2+3y2=0,取x2=3,则y2=3,z2=-1,即n=(3,3,-1),故cos<m,n>=m·n|m||n|=22613,由原图可知二面角E-AF-C为钝角,故二面角E-AF-C的余弦值为-22613.3.解(1)记“该甲自媒体平台公司第一次答错”为事件A,“该甲自媒体平台公司第二次和第三次均答对”为事件B,则P(A)=26=13,P(AB)=26×45×34=15,故甲自媒体平台公司在第一次答错的条件下,第二次和第三次均答对的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=15×31=35.(2)设甲自媒体平台公司答对的问题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C20C63=15,则X的分布列为X123P153515 可得E(X)=1×15+2×35+3×15=2,D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.设乙自媒体平台公司答对的问题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3.(方法一)P(Y=0)=(1-23)3=127,P(Y=1)=C31×23(1-23)2=29,P(Y=2)=C32×232(1-23)=49,P(Y=3)=(23)3=827,则Y的分布列为Y0123P1272949827可得E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2,D(Y)=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23,由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.(方法二)∵Y~B(3,23),则E(Y)=3×23=2,D(Y)=3×23×(1-23)=23;由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.(二)选做题1.解(1)由x=1+3cosθ,y=3sinθ得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=3.当α=π3时,直线l的参数方程为x=2+12t,y=1+32t(t为参数),直线l的普通方程为3x-y-23+1=0,则其极坐标方程为3ρcosθ-ρsinθ-23+1=0,即2ρcos(θ+π6)=23-1.(2)将x=2+tcosα,y=1+tsinα代入圆的方程(x-1)2+y2=3,得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,化简得t2+2t(sinα+cosα)-1=0,又点(2,1)在圆(x-1)2+y2=3内,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(sinα+cosα),t1t2=-1,则|MN|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(sinα+cosα)2+4=22+sin2α=10,sin2α=12,解得2α=π6或2α=5π6,即α=π12或α=5π12,所以直线l的倾斜角为π12或5π12.2.(1)解当x<-2时,f(x)≤6-x即-2x+2-x-2≤6-x,解得x≥-3,故-3≤x<-2;当-2≤x≤1时,f(x)≤6-x即-2x+2+x+2≤6-x,∴4≤6,则-2≤x≤1;当x>1时,f(x)≤6-x即2x-2+x+2≤6-x,解得x≤32,故-1<x≤32.综上所述,原不等式的解集为{x-3≤x≤32}.(2)证明若x<-2,则f(x)=-3x>6;若-2≤x≤1,则f(x)=-x+4≥3;若x>1,则f(x)=3x>3.所以函数f(x)的最小值T=3,故a+b+c=3,又a,b,c为正数,则(1a+1b+4c)×3=(1a+1b+4c)(a+b+c)=6+ba+ab+ca+4ac+cb+4bc≥6+2ba·ab+2ca·4ac+2cb·4bc=16,当且仅当a=b=34,c=32时等号成立,所以1a+1b+4c≥163.