适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练4文（附解析）

规范练4(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023山东日照一模)已知△ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,asin=bsinA,且a=1.(1)求角B;(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值.2.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠PAD=90°,AD∥BC,M为PD的中点,AB=BC=CD=PA=1,AD=2,PB=.(1)求证:CM∥平面PAB;(2)求三棱锥B-MCD的体积. 3.(本题满分12分)(2023贵州黔西一模)为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为7∶5,男生中喜欢上网课的为,女生中喜欢上网课的为,得到如下列联表.性别喜欢上网课不喜欢上网课合计男生女生合计 (1)请将列联表补充完整,试判断能否有90%的把握认为喜欢上网课是否与性别有关;(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法,随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人,求抽取的学生中至少有1名是女生的概率.附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)在平面直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位,已知曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)求曲线C的普通方程;当α=时,求直线l的极坐标方程.(2)若曲线C和直线l交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.2.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)设函数f(x)=|2x-2|+|x+2|.(1)解不等式f(x)≤6-x;(2)令f(x)的最小值为T,正数a,b,c满足a+b+c=T,证明:. 规范练4(一)必做题1.解(1)∵asin=bsinA,∴由正弦定理得sinAsin=sinBsinA.∵A∈(0,π),sinA≠0,A+C=π-B,∴sin=sinB,即cos=sinB,∴cos=2sincos,∵B∈(0,π),∴∈0,,cos≠0,∴sin,∴,即B=.(2)∵AC=BC,B=,∴△ABC为等边三角形,即AC=BC=AB=1,设AD=m,则BD=1-m,PD=m,∴在△BPD中,由余弦定理得cosB=,整理得BP2+(1-2m)=BP·(1-m),设BP=x,0≤x≤1,∴m==2-x+-3,由于0≤x≤1,故1≤2-x≤2,∴m=2-x+-3≥2-3,当且仅当2-x=时等号成立,此时x=2-,∴AD的最小值为2-3.2.(1)证明取PA边中点N,连接NM,NB,∴MN∥AD且MN=AD,∵BC∥AD且BC=1,AD=2,∴BC=AD,∴BC∥MN,BC=MN,∴四边形MNBC是平行四边形,∴CM∥BN.∵BN⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,∴CM∥平面PAB.(2)解在△PAB中,由AB=PA=1,PB=,可知AB2+PA2=PB2,则PA⊥AB.又∠PAD=90°,可知PA⊥AD,∵AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD,S△BCD=BC·. 又M为PD中点,则VB-MCD=VM-BCD=S△BCD·PA=.综上,三棱锥B-MCD的体积为.3.解(1)由题意可知抽取120名学生中男生有70人,女生有50人,其中男生中喜欢上网课的为,所以男生中喜欢上网课的有70×=40(人),女生中喜欢上网课的为,所以女生中喜欢上网课的有50×=35(人),则列联表如下表:性别喜欢上网课不喜欢上网课合计男生403070女生351550合计7545120K2=≈2.057<2.706.则没有90%的把握认为喜欢上网课与性别有关.(2)由分层抽样的性质可知,抽取的6名学生中,男生4人,女生2人,记4名男生分别为a,b,c,d,2名女生分别为A,B,从这6名学生中抽取2名学生的所有情况为{a,b},{a,c},{a,d},{a,A},{a,B},{b,c},{b,d},{b,A},{b,B},{c,d},{c,A},{c,B},{d,A},{d,B},{A,B}共15种,其中抽取的学生中至少有1名是女生共有9种,则所选取的2名学生中至少有1名是女生的概率P=.(二)选做题1.解(1)由得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=3.当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),直线l的普通方程为x-y-2+1=0,则其极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-2+1=0,即2ρcosθ+=2-1.(2)将代入圆的方程(x-1)2+y2=3,得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3, 化简得t2+2t(sinα+cosα)-1=0,又点(2,1)在圆(x-1)2+y2=3内,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(sinα+cosα),t1t2=-1,则|MN|=|t1-t2|==2,sin2α=,解得2α=或2α=,即α=或α=,所以直线l的倾斜角为.2.(1)解当x<-2时,f(x)≤6-x即-2x+2-x-2≤6-x,解得x≥-3,故-3≤x<-2;当-2≤x≤1时,f(x)≤6-x即-2x+2+x+2≤6-x,∴4≤6,则-2≤x≤1;当x>1时,f(x)≤6-x即2x-2+x+2≤6-x,解得x≤,故-1<x≤.综上所述,原不等式的解集为xx≤.(2)证明若x<-2,则f(x)=-3x>6;若-2≤x≤1,则f(x)=-x+4≥3;若x>1,则f(x)=3x>3.所以函数f(x)的最小值T=3,故a+b+c=3,又a,b,c为正数,则×3=(a+b+c)=6+≥6+2+2+2=16,当且仅当a=b=,c=时等号成立,所以.