适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练2（附解析）

规范练2(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2023河北张家口二模)已知数列{an}的首项a1=1,Sn为其前n项和,且nan+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<38.2.(12分)(2023山东淄博一模)已知在多面体ABCDEF中,AD∥BC∥EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π3.(1)证明:AD⊥BF;(2)若BF=26,求直线CD与平面ABF所成角的正弦值.3.(12分)(2023山东日照一模)已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,asinA+C2=bsinA,且a=1.(1)求角B;(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折叠到平面BCED后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值. 4.(12分)(2023新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 规范练21.(1)解由题意,当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=4.当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+2.又nan+1=2Sn+2(n∈N*),所以当n≥2时,有nan+1-(n-1)an=2an,即an+1n+1=ann.这表明从第二项起,数列ann是以a22=2为首项的常数列,即ann=2(n≥2).a11=1,不符合该式.所以,数列{an}的通项公式为an=1,n=1,2n,n≥2.(2)证明由(1)可得,b1=1a1a2=14,T1=b1=14<38.当n≥2时,bn=1anan+1=14n(n+1)=141n-1n+1,所以Tn=b1+b2+…+bn=14+1412-13+13-14+…+1n-1n+1=14+18-14(n+1)<38.综上所述,对n∈N*,都有Tn<38.2.(1)证明连接BD,DF.在△BCD中,DC=4,BC=2,∠BCD=π3,则BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cosπ3=12,可得∠DBC=π2,即BD⊥BC.同时AD∥BC,可得BD⊥AD,同理可得DF⊥AD.因为BD⊥AD,DF⊥AD,且BD⊂平面BDF,DF⊂平面BDF,BD∩DF=D,所以AD⊥平面BDF.又因为BF⊂平面BDF,所以AD⊥BF.(2)解在△BDF中,易得BD=FD=23,且BF=26,所以BD⊥FD,同时BD⊥AD,DF⊥AD,以DA所在直线为x轴,以DB所在直线为y轴,以DF所在直线为z轴,如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz.其中A(4,0,0),B(0,23,0),F(0,0,23),C(-2,23,0),AF=(-4,0,23),AB=(-4,23,0).设向量n=(x,y,z)为平面ABF的法向量,满足n·AB=0,n·AF=0,即-4x+23y=0,-4x+23z=0,不妨取n=(3,2,2),DC=(-2,23,0),直线CD与平面ABF所成角的正弦值为|cos<DC,n>|=DC·n|DC||n|=23(-2)2+(23)2×(3)2+22+22=3322.3.解(1)因为asinA+C2=bsinA,所以由正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因为A∈(0,π),sinA≠0,A+C=π-B,所以sinπ2-B2=sinB,即cosB2=sinB,所以cosB2=2sinB2cosB2.因为B∈(0,π),所以B2∈0,π2,cosB2≠0,所以sinB2=12,所以B2=π6,即B=π3.(2)因为AC=BC,B=π3,所以△ABC为等边三角形,即AC=BC=AB=1.设AD=m,则BD=1-m,PD=m,所以在△BPD中,由余弦定理得cosB=BP2+BD2-PD22BP·BD=BP2+(1-m)2-m22BP·(1-m)=12,整理得BP2+(1-2m)=BP·(1-m). 设BP=x,0≤x≤1,所以m=x2-x+12-x=(2-x)2-3(2-x)+32-x=2-x+32-x-3,由于0≤x≤1,故1≤2-x≤2,所以m=2-x+32-x-3≥23-3,当且仅当2-x=32-x且0≤x≤1,即x=2-3时,等号成立,所以AD的最小值为23-3.4.解(1)第2次投篮的人是乙分两种情况:第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6.(2)设第i次投篮的人是甲为事件Ai,则P(A1)=0.5,P(Ai+1)=P(Ai)×0.6+(1-P(Ai))×(1-0.8)=25P(Ai)+15,所以P(Ai+1)-13=25P(Ai)-13,所以P(Ai)-13是以16为首项,25为公比的等比数列,所以P(Ai)-13=16×25i-1,所以P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*.(3)由(2)知,第i次投篮的人是甲的概率为P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*,第i次投篮的人是甲记为Xi=1,否则记为Xi=0,则Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=13+16×25i-1,由题意知E(Y)=E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi=∑i=1nP(Xi=1)=∑i=1n13+16×25i-1=6n+518-19·25n-1.