适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练1（附解析）

规范练1(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2023全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.2.(12分)(2022新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=2π3,求B;(2)求a2+b2c2的最小值.3.(12分)(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.4.(12分)(2023山东泰安一模)在如图所示的几何体中,底面ABCD是边长为6的正方形,AE⊥AB,EG∥AD,EG=12AD,EF∥AB,EF=12AB,AE=6,点P,Q分别在棱GD,BC上,且GP=PD,BQ=3QC,AD⊥PQ.(1)证明:AE⊥平面ABCD;(2)设H为线段GC上一点,且三棱锥A-CDH的体积为18,求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值. 规范练11.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意,得a1+d=11,10a1+45d=40,解得a1=13,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=15-2n.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=n(a1+an)2=n(13+15-2n)2=14n-n2,由(1)可知,an=15-2n,令an≥0,解得n≤152,所以该数列的前7项是正数,从第8项起为负数,当n≤7时,Tn=Sn=14n-n2,当n≥8时,Tn=-Sn+2S7=n2-14n+98.综上所述,Tn=14n-n2,n≤7,n2-14n+98,n≥8.2.解∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B,且cosB≠0,∴由cosA1+sinA=sinBcosB得cosAcosB=sinB(1+sinA),∴cosAcosB=sinB+sinAsinB,∴sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0.∴sinB>0,cosC<0,∴π2<C<π,0<B<π2.∴sinB=sinC-π2,∴B=C-π2或B+C-π2=π(舍去).(1)若C=2π3,则0<B<π3,∴sinB=-cosC=-cos2π3=12.∴B=π6.(2)(方法一)由正弦定理得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C,(*)∵C=π2+B,A+B+C=π,∴A+B+π2+B=π,∴A=π2-2B.又0<A<π2,∴0<B<π4.∴(*)式为sin2π2-2B+sin2Bsin2π2+B=cos22B+sin2Bcos2B=cos22B+1-cos2Bcos2B=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B.令cos2B=t,则t∈12,1,于是原式=(2t-1)2+1-tt=4t2-4t+1+1-tt=4t2-5t+2t=4t+2t-5≥24t·2t-5=42-5,当且仅当4t=2t,12<t<1,即t=22时取等号.∴a2+b2c2的最小值为42-5.(方法二)∵sinB=-cosC,B=C-π2,∴A=π-(B+C)=3π2-2C.又0<A<π2,∴π2<C<3π4,∴12<sin2C<1.∴sinA=sin(B+C)=sin2C-π2=-cos2C,∴a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=(-cos2C)2+(-cosC)2sin2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C=2+4sin4C-5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C-5≥22sin2C·4sin2C-5=42-5,当且仅当sin2C=22时,a2+b2c2有最小值42-5.3.解(1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,∴c=95+1002=97.5.由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.∴f(c)=-0.008c+0.82,c∈[95,100),0.01c-0.98,c∈[100,105].故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.4.(1)证明取线段AD的中点R,RD的中点K,连接GR,PK,QK.∵EG∥AD,EG=12AD, ∴E,A,D,G四点共面,且EG∥AR,EG=AR,∴四边形ARGE为平行四边形,∴GR∥AE.又GP=PD,RK=KD,∴PK∥GR,∴PK∥AE.∵BQ=3QC,AK=3KD,∴AB∥QK,∴AD⊥QK.又AD⊥PQ,PQ,QK⊂平面PQK,PQ∩QK=Q,∴AD⊥平面PQK.又PK⊂平面PQK,∴AD⊥PK,∴AE⊥AD.又AE⊥AB,AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,∴AE⊥平面ABCD.(2)解设点H到平面ABCD的距离为h,则三棱锥A-CDH的体积为VA-CDH=VH-ACD=13×S△ACD×h=6h=18,∴h=3.又点G到平面ABCD的距离为6,∴H为GC的中点.由(1)知,AE⊥平面ABCD,以A为原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(6,6,0),D(0,6,0),G(0,3,6),H3,92,3,∴AH=3,92,3,AD=(0,6,0),AC=(6,6,0).设平面ACH的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·AH=0,m·AC=0,∴3x1+92y1+3z1=0,6x1+6y1=0,取x1=2,解得y1=-2,z1=1,∴m=(2,-2,1).设平面ADH的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·AH=0,n·AD=0,∴3x2+92y2+3z2=0,6y2=0,取x2=1,解得y2=0,z2=-1,∴n=(1,0,-1).∴cos<m,n>=m·n|m||n|=13×2=26,∴平面ACH与平面ADH夹角的余弦值为26.