北京市丰台区2023-2024学年高二数学上学期期中试题B卷（Word版附答案）

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高二数学（B卷）练习第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.3.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）A.B.C.D.4.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线方程为（）A.B.CD.5.圆截轴所得弦的长度为（）AB.C.D.6.若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（）A.B.C.D.7.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（） AB.C.D.8.已知直线：，：，若，则实数（）A.B.C.或D.或9.已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（）A.B.C.D.10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（） A.B. C.D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.以为圆心，半径为2的圆的标准方程为_________.12.已知点，，，则______.13.已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.14.已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.15.在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：①；②；③若为中点，则点到直线的距离为；④存在点，使得平面．其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.17.已知向量，，.（1）若，求实数的值； （2）求；（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.（1）求证：//平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19.已知圆：.（1）求圆的圆心坐标以及半径；（2）求经过点的圆的切线方程；（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.20.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程； （2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.21.如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求直线到平面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高二数学（B卷）练习第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.【详解】直线的斜率为，设其倾斜角为，则，又，故其倾斜角为.故选：B2.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的共线定理即可求解.【详解】因为向量，，且，所以，即，可得，解得，所以.故选：C.3.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用点在坐标平面内的射影坐标运算即可得解.【详解】解：∵点是点在坐标平面内的射影，∴点坐标为，故选：A.4.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把两直线的垂直关系转化为斜率的关系即可判断.【详解】已知直线的斜率所以垂直直线的斜率为而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为，故选：D.5.圆截轴所得弦的长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用圆的弦长公式：，其中为圆心到弦所在直线的距离，计算可求弦长.【详解】解：由圆的方程可知，圆心为，半径为，圆心到轴的距离为，则. 故选：B6.若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解.【详解】,所以交点为,由于在第二象限，所以，所以的取值范围为，故选：D7.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.【详解】由题意得,结合可得，故，故选：C8.已知直线：，：，若，则实数（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】若：，：，当时，，代入后需验证，排除两直线重合的情况.【详解】因为，所以，即：，，解得：或，当时，：，：，符合题意；当时，：，即：，：，此时与重合，舍去.故选：A9.已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】结合各个选项分别求出，计算值是否为0，从而得出结论.【详解】对于A，，所以，故点不在平面内，故A错误；对于B，，所以，故点在平面内，故B正确；对于C，，所以，故点不在平面内，故C错误；对于D，，所以，故点不平面内，故D错误.故选：B.10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，，然后由向量的数量积公式分别求出 ，结合向量的夹角运算公式，即可求解.【详解】如图所示：由题意，可得，，又由正八面体的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直线和夹角的余弦值为. 故选：D.【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角，所以只需把分解，然后由向量的夹角公式即可求解.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.以为圆心，半径为2的圆的标准方程为_________.【答案】.【解析】【分析】根据圆心及坐标即得.【详解】由题可得圆的标准方程为.故答案为：.12.已知点，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标表示法结合向量的减法运算即可求解【详解】根据已知可得：，，因此可得：.故答案为：13.已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可得出直线的斜率.【详解】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一） 14.已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.【详解】由直线方程，则该直线过定点，易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，由圆的方程，则其圆心为，半径为，点到圆上点的最大距离为.故答案为：.15.在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：①；②；③若为中点，则点到直线的距离为；④存在点，使得平面．其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②④【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断①；以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断②③④.【详解】对于①，， 而，所以，故①错误；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，故，所以，所以，故②正确；若平面，又平面，所以，，则，则，解得，所以存在点，使得，又平面，所以当时，平面，所以存在点，使得平面，故④正确；对于③，若为中点，则，故，则，所以，所以点到直线的距离为为，故③错误.故答案为：②④. 三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两点之间的斜率公式求出斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可；（2）利用中点坐标公式和斜率公式结合直线的点斜式方程求解即可.【小问1详解】因为，，所以边所在直线的斜率．又因为该直线过点，所以边所在直线的方程为：，即．【小问2详解】设边上的中点为，则直线即为边上的中线．因为，，所以，又因为 所以直线的斜率．又因为该直线过点，所以直线的方程为：，即．17.已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）求；（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可.（2）模长公式的坐标运算即可.（3）利用空间共面向量定理即可.【小问1详解】∵，∴，即，∴．【小问2详解】∵，，∴，∴【小问3详解】若，，不能构成空间向量的一个基底， 则与，共面，故存在唯一的实数对，使得，即，，∴，解得，∴.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.（1）求证：//平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求角即可.【小问1详解】 证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．因为是中位线，所以，因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】选①：平面平面．因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，平面，所以，，又底面是正方形，所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，．所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，．于是．又因为平面， 所以为平面的一个法向量.设平面与平面夹角为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为．选②：．因为，，又底面是正方形所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，．所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，．于是．又因为，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量.设平面与平面夹角为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为．19.已知圆：.（1）求圆的圆心坐标以及半径；（2）求经过点的圆的切线方程；（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）圆心的坐标为，半径 （2）或（3）【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解；（2）讨论切线的斜率不存在和存在的两种情况求切线方程；（3）由题意转化圆心距和半径的关系式，再转化为不等式求实数的取值范围.【小问1详解】因为圆：，整理得所以圆心的坐标为，半径．【小问2详解】①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；②当切线斜率存在时，设：，即.设圆心到切线的距离为，则．整理可得：，解得：所以切线的方程为，即.综合①②，切线的方程为或.【小问3详解】圆与圆的圆心距为，设圆的半径为，圆的半径为，若圆与圆：有公共点，则，即， 解得，故．20.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程；（2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.【答案】（1）（2）可以从桥下通过，理由见解析【解析】【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案；（2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案.【小问1详解】设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，因为该拱圆过，，，所以，解得．所以拱圆的一般方程为，即．【小问2详解】 当时，，得所以该景区游船可以从桥下通过．21.如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求直线到平面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由直三棱柱的性质以及可证明两两相互垂直，以为原点建立空间直角坐标系，空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值.（2）利用线面平行的判定定理可证明平面，从而直线到平面的距离等于点到平面的距离，空间向量法计算点到平面的距离即可. （3）假设存在点，可设，计算向量，由（2）可知平面的法向量，利用空间向量法计算向量求解，可得出结果.【小问1详解】解：在直三棱柱中，底面，所以，又因为，所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则　即令，则，．于是．所以．设直线与平面所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．因为是的中位线，所以，又因为平面,平面,所以平面．所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．又因为，所以，设点到平面的距离为，则，所以直线到平面的距离为．【小问3详解】线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：设， 因，，所以，所以．由（1）知平面的一个法向量为，因为平面，所以，即，解得：，所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面．【点睛】结论点睛：（1）若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则；（2）平面的法向量为，平面外一点，在平面内找一点，连接，则点到平面的距离为：；（3）若直线的方向向量为，平面的法向量为，若平面，则.