北京市丰台区2023-2024学年高一数学上学期期中考试试卷（B卷）（Word版附解析）

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（B卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题.（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知命题：，，则命题的否定为（）A.，B.，C，D.，3.已知，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.4.下列四个函数中，与表示同一函数的是（）A.B.C.D.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分䀠不必要条件6.下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（）A.B. C.D.7.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A.B.C.D.8.已知是定义在R上奇函数，且当时，，则A.B.CD.9.已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（）x123230A.3B.0C.1D.210.定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题.（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.函数的定义域为_________．12.计算______13.设，则函数的最小值为______；此时的值是______.14.比较两个值的大小：______（请用“>”，“=”“<”填空）15.几位同学在研究函数时给出了下列四个结论：①的图象关于轴对称；②上单调递减；③值域为；④当时，有最大值；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题.（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知全集，其子集，，求：（1）；（2）17.已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若的解集是，解关于的不等式18.已知函数. （1）求的值；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；（3）若，求的取值范围.19.已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的结论.20.已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.21.计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：（1）将表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围. 丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（B卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题.（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解.【详解】因为，即小于3的元素符合题意，，符合题意，A、C错误，B正确；对于D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故D错.故选：B2.已知命题：，，则命题的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：，，故选：C.3.已知，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.【详解】A选项，根据指数函数单调递增可知，，A选项正确； BCD选项，取，B选项变成，C选项变成，D选项变成，BCD均错误.故选：A4.下列四个函数中，与表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的三要素逐一判断即可.【详解】解：因为，，对于A，因为的定义域，与的定义域不同，所以与表示的不是同一函数；对于B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，所以表示同一函数；对于D，因为的定义域，与的定义域不同，所以与表示的不是同一函数.故选：C.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分䀠不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“小充分，大必要”，即可作出判断.【详解】由可得，或，“”能推出“，或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A6.下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；选项B：定义域不是，值域为，故错误；选项C：定义域和值域均为，故正确；选项D：不满足函数的定义，故错误；故选：C.7.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据奇偶性和单调性逐个判断即可.【详解】对于A：，是偶函数，在区间上随着的增大减小，所以在上是减函数，A错误；对于B：易知是非奇非偶函数，B错误；对于C：，所以是奇函数，C错误； 对于D：，所以是偶函数，且在区间上随着的增大增大，所以在上是增函数，故选：D8.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可.【详解】由奇函数性质结合题意可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（）x123230A.3B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据图象可得，进而根据表格得.【详解】由题图可知，由题表可知，故．故选:D．10.定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出，，，即可求出的值.【详解】由题意，，，，∴，，，，故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题.（本题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】根据函数表达式可得，解不等式即可.【详解】由，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为： 12.计算______【答案】4【解析】【分析】根据指数幂的运算解题即可.【详解】.故答案为：413.设，则函数的最小值为______；此时的值是______.【答案】①.6②.2【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接求出最小值及取得最小值的x值即可.【详解】由于，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值6.故答案为：6；214.比较两个值的大小：______（请用“>”，“=”“<”填空）【答案】>【解析】【分析】利用指数函数的性质比较大小.【详解】因为，即，又因为，即，所以，故答案为:.15.几位同学研究函数时给出了下列四个结论：①的图象关于轴对称；②在上单调递减；③的值域为； ④当时，有最大值；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①，②，④【解析】【分析】①利用定义研究函数奇偶性；②化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；③④结合单调性与对称性，可求出函数的值域，可知当时，的最大值；【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称，，即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故①正确；对于②，当时，，利用反比例函数性质，可知函数在上单调递减，故②正确；③由函数在上单调递减，知在上的值域为，当时，的值域为，利用偶函数对称性知的值域为，故③错误；④由③知，当时，有最大值；故答案为：①，②，④【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值函数的奇偶性，单调性，值域，解题的关键在于研究函数时一定先求函数的定义域，利用定义域将绝对值函数写成分段函数，利用偶函数只研究上的性质，即可知道函数在定义域上的性质。三、解答题.（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知全集，其子集，，求：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据交集定义直接计算；（2）先根据补集定义求集合和集合的补集，然后再求利用并集定义可得答案.【小问1详解】，【小问2详解】，，，，，.17.已知二次函数.（1）当时，解关于不等式；（2）若的解集是，解关于的不等式【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解；（2）由题意得是方程的两根，从而求得，进而解二次不等式即可得解.【小问1详解】当时，，则不等式，即为即，解得，所以的解集为.【小问2详解】因为的解集是， 所以是方程即的两根，则，解得，所以可化为，即，解得或，所以的解集为或.18.已知函数.（1）求的值；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）8（2）图象见解析，减区间为，增区间为（3）【解析】【分析】（1）先得出，进而即可得出答案；（2）根据函数图象，直接写出单调区间；（3）分别求出当时以及时，不等式的解，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，， 所以，.【小问2详解】如图，作出函数的图象由图象可知，函数的单调减区间为，单调增区间为【小问3详解】当时，由可得，，解得，所以；当时，由可得，，根据指数函数的性质解得，所以.综上所得，的取值范围.19.已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断，从而求解；（2）利用函数单调性的定义，先求定义域，再在定义域上任取不相等的两个值，最后再作差，根据结果进行判断单调性，从而求解.【小问1详解】由题意知：的定义域为， ，所以得：为奇函数.【小问2详解】函数在区间上是单调递增；证明如下：，且令，所以：因为，所以，，所以：，即，得函数在区间上单调递增.故：函数在区间上单调递增.20.已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解；（2）由题意得，解之即可得解；（3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解. 【小问1详解】根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，又函数的最小值为，可设，又因为，可得，解得，所以函数的解析式为.【小问2详解】由函数，其对称轴为，要使得函数在区间上不单调，则满足，解得，故实数的取值范围为.【小问3详解】由函数，若在上，恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则开口向上，对称轴为，又在上恒成立，即，当，即时，在上单调递增，则，解得，则；当，即时， ，解得，则；当，即时，在上单调递减，，解得（舍去）；综上，实数的取值范围为．21.计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：（1）将表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.【答案】（1），（2）x为30时，y取最大值为1215（3）【解析】【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积， 因为，解得∴定义域为（2）由（1），，又，所以，当且仅当，即时上式等号成立，所以.当时，.当为30时，取最大值为1215.（3）养殖池的面积不小于1015平方米即所以，解得故的取值范围为.