北京市丰台区2023-2024学年高一数学上学期期中考试试卷（A卷）（Word版附解析）

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A卷）第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定为（）A.“”B“”C.“”D“”3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A.B.C.D.4.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.已知幂函数的图象经过点，则等于（）A.B.C.D.6.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（） A.0个B.1个C.2个D.3个8.若指数函数的图像与射线（）相交，则（）A.B.C.D.9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.B.C.D.10.设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（）A10B.11C.12D.13第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为__________.12.求值：________． 13.当时，则的最小值为______，当取得最小值时的值为______．14.写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值__________．（写出一个的值即可）15.函数的定义域为，且，都有，给出下列四个结论：①或；②一定不是偶函数；③若，且在上单调递增，则在上单调递增；④若有最大值，则一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.17.已知函数.（1）求值；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；（3）若，求的取值范围. 18.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案）19.已知函数，．（1）若的解集是，求函数的零点；（2）求不等式的解集．20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.21.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（1）设函数，求集合和；（2）求证：；（3）设函数，且，求证：． 丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A卷）第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可求解.【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.故选:A2.命题“”的否定为（）A.“”B.“”C.“”D.“”【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是：.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.故选：B4.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A，B，C；举反例可判断D.【详解】对于A，当时，则时，，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若，则，即，故，C正确；对于D，若，不妨取若，则，D错误，故选：C5.已知幂函数的图象经过点，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由幂函数所过的点求得，进而求.【详解】令，则，则， 所以.故选：A6.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由，解得，由，即，解得，又Ü，由推不出，故充分不成立，由推得出，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．【详解】对于①，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性，故①错误；对于②，同时满足任意性与唯一性，故②正确；对于③，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性，故③错误；对于④，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性，故④错误. 故选：B.【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题．8.若指数函数的图像与射线（）相交，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可【详解】当时，代入射线得，若，指数函数的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当时，，所以，若，则可知两图象在第一象限一定有交点，综上，或，故选：D9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足； 的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C10.设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可.【详解】由题意，，，，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使最大，则各集合中尽量小，所以集合，，，，中的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设，，，，，则有，当时，，当时，，所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可，故的最大值为11.故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由函数解析式，结合根式、分式的性质求定义域.【详解】由题设且，所以函数定义域为.故答案为：12.求值：________．【答案】【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】，故答案为：.13.当时，则的最小值为______，当取得最小值时的值为______．【答案】①.7②.5【解析】【分析】通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解 【详解】因为，当时等号成立，此时故最小值为7,当取得最小值时的值为5，故答案为：7,5.14.写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值__________．（写出一个的值即可）【答案】【解析】【分析】根据题意，假设命题“恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当和时两种情况，从而得出实数的取值范围，再根据补集得出命题“恒成立”为假命题时的取值范围，即可得出满足题意的的值.【详解】解：若命题“恒成立”是真命题，则当时成立，当时有，解得：，所以当时，命题“恒成立”是真命题，所以当时，命题“恒成立”为假命题，故答案为：.（答案不唯一，只需）15.函数的定义域为，且，都有，给出下列四个结论：①或；②一定不是偶函数；③若，且在上单调递增，则在上单调递增；④若有最大值，则一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【解析】【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③ ，取特殊函数判断④.【详解】因为，都有，所以，即或，故①正确；不妨取，则，即恒成立，所以是偶函数，故②错误；设，且，则，所以，即，所以，即在上单调递增，故③正确；不妨取，则满足，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）若，代入集合B，由补集交集并集的定义，求；（2）若，分和两种类型，求实数的取值范围.【小问1详解】时，，又，， ，.【小问2详解】当时，当时，则，得满足题意当时，则，解得综上：实数的取值范围是17.已知函数.（1）求的值；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）作图见解析，减区间为，增区间为（3）【解析】 【分析】（1）根据分段函数代入求值；（2）直接作出函数的大致图象并写出单调区间；（3）对分段讨论，代入相应解析式求解不等式.【小问1详解】由得.【小问2详解】，所以的图象如下图所示，由图可知,的减区间为，增区间为.【小问3详解】由可得或，解得或，所以的取值范围是.18.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围. （只需写出答案）【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数定义证明；（2）根据单调性定义证明；（3）作出的图象，观察图象得答案.【小问1详解】函数为奇函数.证明：定义域，因为，都有，且，所以函数为奇函数.【小问2详解】函数在区间上单调递增.任取，，则因为,，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.【小问3详解】 的范围，理由如下：先证明函数在区间上单调递减.任取，，则，因为，，，所以，即，所以函数在区间上单调递减.根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下：计算可知：，由图可知，当时，的值域为，的取值范围为.19.已知函数，．（1）若的解集是，求函数的零点；（2）求不等式的解集．【答案】19.1和3；20.答案见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意确定是的一个根，从而求出，进而求解即可；（2）先讨论当时求解不等式，在时求得方程两根为，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可.【小问1详解】因为的解集是，所以是的一个根，所以，解得，所以.令，解得，所以的零点为1和3.【小问2详解】因为，即，所以，当时，，解得；当时，方程的两根为，当时，开口向下，且，解得；当时，开口向上，且，解得或；当时，开口向上，且，解得；当时，开口向上，且，解得或；综上所述，当时，解集；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为.20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：由得即，解得由，设备企业从第3年开始盈利（2）方案一总盈利额，当时，故方案一共总利润，此时方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立故方案二总利润，此时 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.21.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（1）设函数，求集合和；（2）求证：；（3）设函数，且，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，直接解方程、，可得出集合、；（2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论；（3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立.【小问1详解】解：由，可得，即，由，解得，即.故当时，.【小问2详解】证明：当，则成立，若，对任意的，，则，所以，， 因此，.综上所述，【小问3详解】证明：因为，则关于的方程无实解，即方程无实解，则，构造函数，①当时，函数图象恒在轴上方，即对任意的，则恒成立，则，即恒成立，即；②当时，函数的图象恒在轴下方，即对任意的，则恒成立，则，即恒成立，即.综上所述，当时，.【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立.