北京市丰台区2023-2024学年高二数学上学期期中试题A卷（Word版附答案）

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高二数学（A卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆，则圆心与半径分别为（）A.，B.，C，D.，3.如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等是（）A.B.C.D.4.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A.B.C.D.5.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（）A.，B.，C.， D.，6.已知直线，，若，则实数（）A.B.C.或D.或7.若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（）A.B.或C.D.或8.已知圆关于直线对称，则实数（）A.B.C.D.或9.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（） A.B.C.D.10.已知圆与圆，过动点分别作圆，圆切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为______.12.已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则______.13.已知，，三点共线，则______.14.已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数的一个取值为______.15.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：①若点在线段上运动，则总有；②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.其中所有正确结论序号为______.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知圆.（1）求经过点的圆的切线方程；（2）求直线被圆截得的弦长.17.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.条件①：；条件②：平面平面.从条件①和条件②这两个条件中选择一个作已知，完成下列问题：（1）求证：；（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且半径为.（1）若圆心也在直线上，求圆的方程；（2）已知点，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.20.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.21.在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点 的“折线距离”.（1）已知，，求；（2）已知直线.（i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值；（ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高二数学（A卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．故选：D．2.已知圆，则圆心与半径分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可【详解】圆的方程为为标准形式，即圆心与半径分别为，故选：D.3.如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.【详解】因为,所以.故选：C.4.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求其斜率，再利用两直线垂直得到垂直直线斜率，然后利用点斜式方程得到垂直直线方程，化成一般式即为答案.【详解】因为直线的斜率为，则与其垂直的直线的斜率为，又因为直线过点，则直线的方程为，即.故选：B.5.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（）A.，B.， C.，D.，【答案】B【解析】【分析】只需判断是否成立，即可得出答案.【详解】要使，则应有.对于A项，由已知可知不成立，故A项错误；对于B项，由已知可得，所以，故B项正确；对于C项，由已知可知不成立，故C项错误；对于D项，由已知可知不成立，故D项错误.故选：B.6.已知直线，，若，则实数（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】由直线平行的充要条件列出方程求解，并注意检验即可.【详解】由题意直线，满足，所以当且仅当，解得或；经检验当或时，没有重合的情况，即满足.故选：C.7.若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】 【分析】画出图形，首先由垂径分线定理算出原点到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图所示：不妨设中点为，因为，所以由垂径分线定理可知，由圆的方程可知，，所以，即原点到直线的距离为，解得或.故选：D.8.已知圆关于直线对称，则实数（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，，且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去）或.故选：C9.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，，然后由向量的数量积公式分别求出，结合向量的夹角运算公式，即可求解.【详解】如图所示： 由题意，可得，，又由正八面体的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直线和夹角的余弦值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的 夹角，所以只需把分解，然后由向量的夹角公式即可求解.10.已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用几何关系确定动点在线段的中垂线上，并求出中垂线的直线方程，再根据的几何意义求解.【详解】如图，因为，且,所以,所以动点在线段的中垂线上，因为，所以的中点为，且，所以中垂线的斜率为，所以中垂线的直线方程为：，即，又因为表示点和点的距离，所以点到直线的距离即为的最小值.故选:A. 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据直线的斜截式方程即可求解.【详解】因为直线的斜率为，在轴上的截距为，所以所求直线方程为.故答案为：.12.已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则______.【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算律计算即可.【详解】.故答案为：-3.13.已知，，三点共线，则______.【答案】##【解析】【分析】由平面向量基本定理可知，若三点共线，则存在唯一的实数使得，利用等量关系计算的值.【详解】若三点共线，则存在唯一的实数使得，所以，则，即，则.故答案为：14.已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数的 一个取值为______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】易得到点的距离为的点轨迹方程为，由题意可知圆与圆相交，从而可求出的范围，即可得解.【详解】到点的距离为的点轨迹方程为，其圆心为，半径，圆化为标准方程为，其圆心，半径，由题意可知圆与圆相交，则，即，解得或，则实数的一个取值为.故答案为：.（答案不唯一，只要在内即可）15.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：①若点在线段上运动，则总有；②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.其中所有正确结论的序号为______.【答案】①②④【解析】【分析】由平面判断①；由等体积法及线面距离为定值判断②；由线面距离为定值及线面角判断③；作出截面利用向量法计算面积判断④.详解】对①，如图， 连接，，在正方体中，，，，平面，所以平面，又平面，所以，又正方体中，，所以，故①正确；对②，如图，因为，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，因为，而为定值，所以为定值，故三棱锥体积为定值，故②正确；对③，如图， 在正方体中，，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为，而，不是定值，所以不为定值，故③错误；对④，因为，且，所以点在线段上运动，在上取一点，使得，连接，易知，且，即四点共面，即过，，三点的截面为截面.以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：则，因为，，所以截面的面积为 ，当时，，当或时，，所以过，，三点的正方体截面面积最小值为，最大值为，过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为，故④正确.故答案为：①②④三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知圆.（1）求经过点的圆的切线方程；（2）求直线被圆截得的弦长.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由点斜式方程和圆心到切线的距离等于半径即可求出，（2）由点到直线的距离公式和勾股定理即可求出.【小问1详解】解：当切线斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为，则此时直线与圆相切，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，所以此时切线的方程为.综上：切线的方程为或.【小问2详解】由题可知圆的圆心为，半径为.设圆心到直线的距离为，则.所以直线被圆所截得的弦长为：.17.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明，，来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，因为是的中点，所以，因为，平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为直三棱柱，所以平面，平面，所以，，因为，所以，，两两垂直，以为原点，，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.所以，，，设平面的一个法向量为．所以，即，令，则，.所以．所以，设直线与平面所成角为， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为.18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.条件①：；条件②：平面平面.从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：（1）求证：；（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）选①：先用勾股定理证明，再由线线垂直证明线面垂直，继而证明。选②：先由面面垂直证明线面垂直，继而证明。（2）建立空间直角坐标系，用向量方法即可求解. 【小问1详解】选①：.证明：在平行四边形中，，因为，，所以在△中，.所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.选②：平面平面.证明：因为平面平面，平面平面，，平面.所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，所以，，. 设平面的一个法向量为，则即令，则，.所以．因为点在线段上，设，所以，故点到平面的距离为，得.所以所以，所以.19.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且半径为.（1）若圆心也在直线上，求圆的方程；（2）已知点，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心既在上，又在上，可求圆心坐标，结合题干中半径，代入到 圆的标准方程即可求圆的方程.（2）设出点的坐标，根据题意表示出和的长，因为在圆上，所以由的轨迹方程知，圆心到直线的距离不大于半径，列出不等式即可.【小问1详解】设圆心，由题意得，解得，所以圆心，因为圆的半径为1，所以圆的方程为：.【小问2详解】由题意，如图所示：设，由已知，圆心，，得，整理得，所以点既在圆上又在直线上，即：圆和直线有公共点，所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，所以， 所以的取值范围为：，所以圆心的横坐标的取值范围为.20.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，点为中点，证明见解析【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；（3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可.【小问1详解】因为平面平面，平面平面，，平面,所以平面，因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，以为原点，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，则，，,，，所以，，设平面的一个法向量为，则，取得，因为平面，所以为平面的一个法向量，，所以，设平面与平面夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值．【小问3详解】线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下： 设，因，所以，由（2）知平面一个法向量为，因为平面，所以，解得，所以线段上存在点，点为中点，满足平面.21.在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”.（1）已知，，求；（2）已知直线.（i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值；（ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值.【答案】（1）4（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）根据题中给定定义直接求解;（2）（i）设直线上任意一点，，求出与坐标轴的交点，分类讨论在线段的延长线上时，线段的延长线上时，线段上时的情形即可；（ii）判断出轴时，的最小值为，过作直线的垂线，垂足为，则，当取最小值时，取得最小值.【小问1详解】.【小问2详解】 （i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，.当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，，，则.因为，，所以.综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.（ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则，所以.当取最小值时，取得最小值.过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，当且仅当与重合时，取到最小值.易知，所以的最小值为，