北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题（A卷）（Word版附解析）

丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高二数学（A卷）考试时间：120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若，求（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，再代值计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.已知数列的首项，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，求得，即可求得的值.【详解】由数列满足，可得数列为等差数列，因为，可得，所以.故选：C.3.已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系 为.则当时，该运动员的滑雪速度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，对求导，再将代入求解即可.【详解】因为，所以，故，所以该运动员的滑雪速度为.故选：B.4.已知数列是等比数列，其前项和为，若，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设数列的公比为，结合题设根据等比数列的性质可求得，进而根据等比数列的前项和公式求解即可.【详解】设数列的公比为，则，所以，所以.故选：C.5.若函数，则的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求得，令，即可求解. 【详解】由函数的定义域，可得，令，解得，即函数的单调递增区间为.故选：B.6.用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；当时，等式左边等于，共项求和；所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选：B7.曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.【详解】由，可得，又，，故在点处的切线方程为，即.令得，令得，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.故选：A.8.已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是 （）A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.为极小值D.为极小值点【答案】D【解析】【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断.【详解】由图象可得：当或时，；当或时，；故的单调递增区间为，单调递减区间为，故A，B正确；函数在处取得极小值，故C正确，1不是极值点，D错误；故选：D.9.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.为递减数列B.为递增数列C.数列有最小项D.数列有最大项【答案】C【解析】【分析】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D．【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，又，所以即，又，所以，即，故等比数列首项，公比满足或，当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调； 当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确；又，且所以当时，由于，则，，此时数列的最小项为，最大项为；当时，有，则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确.故选：C.10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过5个步骤变成1，得.则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则只能是4C.随着的增大，不一定增大D.若，则的可能值有5个【答案】D【解析】【分析】根据“冰雹猜想”逐项推理，即可判断作答.【详解】对于A，当时，，，A正确；对于B，若，逆推：按减1除以3或乘以2，得，因此只能是4，B正确；对于C，当时，，，当时，，，因此随着的增大，不一定增大，C正确； 对于D，若，逆推：按减1除以3或乘以2，得，因此的取值集合是，的值只有4个，D错误.故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数，则_____.【答案】【解析】【分析】利用简单复合函数求导公式进行计算.【详解】令，，则，故.故答案：12.如果成等比数列，那么________.【答案】【解析】【分析】根据等比中项以及等比数列的性质运算求解.【详解】设该数列的公比为，则由题意可得，解得，即，所以.故答案为：．【点睛】考点：等比数列的通项公式．13.如图，已知函数图象关于直线对称，直线是曲线在点处的切线，则_____． 【答案】【解析】【分析】根据导数的定义，几何意义和求导公式即可求解.【详解】根据二次函数图像可以设其解析式为：，所以，曲线在点处的切线斜率为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.14.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将，，，，填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数，，，，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，记此和为，这个正方形叫做阶幻方．如图三阶幻方的．若，则_____.【答案】【解析】 【分析】利用等差数列求和公式计算出，从而得到.详解】由等差数列求和公式可得，故每行，每列和每条对角线上的数字之和为，故答案：15.函数（）的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前n项和，给出下列四个结论：①数列为等差数列；②；③为函数的极小值点；④.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：，令可得或，，易得函数的极值点为或，，从小到大为，，不是等差数列，①错误；，②正确；因为，，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 所以为函数的极小值点，③正确；，，则根据诱导公式得，④正确；故答案为：②③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知数列为等差数列，若，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公差为，根据通项公式列方程解得，即可得解；（2）结合（1）得，再利用分组求和法求解即可．【小问1详解】设的公差为，因为，，所以，； 解得，，∴.【小问2详解】因为，；所以．17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）首先求函数导数，根据导数和单调性的关系，即可求解；（2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定的取值范围.【小问1详解】由题可知，令，即，解得或，当变化时，，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，又有，，要使在区间上的最小值为，则.18.已知数列满足，且．（1）设数列满足，证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式.【小问1详解】，，，，因为，故，．是首项，公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，又，所以，所以．故数列的通项公式为．19.已知函数，且在处取得极值.（1）求实数的值； （2）若方程有两个解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据，求的值；（2）利用导数判断函数的性质，再利用数形结合，求实数的范围.【小问1详解】由题可知因为在处取得极值，所以，解得；经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）知，，令，解得或；当变化时，，的变化情况如下表：00增极大值减极小值增函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.当时，；当时，， 所以的极大值；的极小值.因为方程有两个解，所以或.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）解法一：由题意得在区间上恒成立，设，然后利用导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数的取值范围；解法二：由题意得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可,【小问1详解】当时，函数．令，得，即切点坐标为．，令，得，即切线斜率，故切线方程为，即．【小问2详解】解法一：已知，可得，因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，设，可得，令，；①当时，，，，单调递减， ，不满足题意；②当时，，时，，单调递增；时，，单调递减，由，，，得；③当时，，，，单调递增，由，得，所以；综上，.经检验，满足题意.所以实数的取值范围为.解法二：．由题意，在区间上恒成立，因为，所以，所以在区间上恒成立．令，则，所以在区间上单调递增，所以的最大值为，所以．经检验，满足题意.所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为在区间上恒成立，然后分离参数，再构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.21.定义“三角形数”：对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则称是“三角形数”；否则，不是“三角形数”． 已知数列满足，且．（1）写出的值；（2）证明：当且仅当是“三角形数”时，是正整数；（3）证明：数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，如，，．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别代入计算即可；（2）根据三角形数界定范围求解计算可得；（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.【小问1详解】．【小问2详解】若是“三角形数”，则存在，使得，故是正整数．若不是“三角形数”，则介于两个相邻“三角形数”之间，即存在，使得，由之前的计算可知，，即不是正整数．综上，命题得证．【小问3详解】只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．当时，，满足初值条件． 又．而．设，，其中．当是“三角形数”时，，．当不是“三角形数”时，由（2）知存在，使得，且，故．又，，故．因此，当是“三角形数”时，；当不是“三角形数”时，．综上所述，数列的通项公式为．