北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题（B卷）（Word版附解析）

丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高二数学（B卷）练习时间：120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式可得结果.【详解】.故选：A.2.已知数列的首项，且满足，则（）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】由题可得数列为等差数列，即可得答案.【详解】由可知是以为首项，公差为2的等差数列，则.故选：C3.设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度. 【详解】质点在第时的瞬时速度为.故选：D.4.已知函数在处有极值，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，故选：A5.已知是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则该等比数列的公比为（）A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.【详解】由题意可得，所以，且则，所以等比数列的公比为故选：B.6.用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B7.已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.为极值点D.为极值点【答案】D【解析】【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；B，因时，，则在上单调递增，故B正确；C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.故选：D8.若等差数列满足，，则当的前项和最小时，（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得，，所以等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，即可求出的前项和最小时的值.【详解】设等差数列的公差为，因，， 所以，，所以，，所以，因为等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，所以当时，的前项和最小.故选：B.9.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将、、、、填入的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于．一般地，将连续的正整数、、、、填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】根据任意，九阶幻方上所有的数字之和为，由于每行、每列和对角线上的数字之和相等，所以，九阶幻方对角线上的数字之和为.故选：C10.若函数的图象与轴有且仅有一个交点，则实数的范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，分离参数，构造新函数，利用导数确定新函数的单调性和值域，画出新函数大致图象，即可得答案. 【详解】令，解得．设．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的最大值为．又，则新函数的大致图象如下，问题转化为新函数图象与直线有一个交点.所以当或时，与轴有且仅有一个交点．故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数，则________．【答案】【解析】【分析】由余弦函数导数公式结合复合函数求导法则可得答案.【详解】由题可得.故答案为：12.设数列的前n项和为，则__.【答案】9【解析】【分析】由数列的前n项和公式求出的值，则，求出答案.【详解】在数列中，由得：，， ∴.故答案为：9.13.如图，直线是曲线在点处的切线，则________．【答案】1【解析】【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，根据导数的定义，可得.故答案为：1．14.等比数列满足如下条件：对于任意，有，．试写出满足上述条件的一个通项公式________．【答案】（首项和公比分别满足即可.）【解析】【分析】设数列首项为，公比为q，由题可得满足条件，即可得答案.【详解】设数列首项为，公比为q，由可得，由可得.又.故首项和公比分别满足即可.故答案为：（首项和公比分别满足即可.）15.人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（ ）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论：①在这段时间内，甲的心率变化比乙快；②在时刻，甲的心率变化比乙快；③在时刻，甲、乙的心率变化相同；④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快．其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可.【详解】对于①，在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确：对于②，图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确；对于③，在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同，所以甲、乙的心率变化相同，故③正确；对于④，乙（虚线）在这段时间的割线斜率小于甲（实线）在这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误．故选：①②③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为 （2）极大值16，极小值【解析】【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;【小问2详解】由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．17.已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）设数列公差为d，若选①，则；若选②，则；若选③，则；（2）由分组求和法可得答案. 【小问1详解】设数列公差为d.选条件①：由已知得，所以．选条件②：由已知得，化简得，所以（由于各项为正数，负根舍去）．选条件③：由已知得，所以．所以数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）得．．18.已知函数，其中为常数，且．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．【答案】（1）（2）答案见解析（3）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程；（2）对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性即可；（3）结合（2）的结论，要使函数在上单调递减，则，任取一个值即可.【小问1详解】当时，函数．令，得，即切点坐标．导函数．令，得，即切线斜率．故切线方程为，即．【小问2详解】 函数的定义域为．导函数．讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为．②当时，令，解得．0所以函数的单调增区间为，单调减区间为．综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．【小问3详解】结合（2）的结论可知，，要使函数在上单调递减，则有，解得，任取一个值，比如.19.已知数列满足，且．（1）设数列满足，证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式.【小问1详解】， ，，，因为，故，．是首项，公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，又，所以，所以．故数列的通项公式为．20.已知两地的距离是100km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在km/h，油价为8元/L．假设汽车以xkm/h的速度行驶时，耗油率为L/h，司机的人工费为40元/h．（1）请将总费用表示为车速x的函数；（2）试确定x的值，使总费用最小．【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，即可表示出汽车的总费用；（2）对求导，讨论与的大小，即可得出的单调性，进而得出答案.【小问1详解】汽车的运行时间为h．汽车的油耗费用为元．汽车的总费用为元（）．小问2详解】函数的导函数为，令，解得．当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增．故当时，总费用最小．21.定义“三角形数”：对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则称是“三角形数”；否则，不是“三角形数”．已知数列满足，且．（1）写出的值；（2）证明：当且仅当是“三角形数”时，是正整数；（3）证明：数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，如，，．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】分析】（1）分别代入计算即可；（2）根据三角形数界定范围求解计算可得；（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.【小问1详解】．【小问2详解】若是“三角形数”，则存在，使得，故是正整数．若不是“三角形数”，则介于两个相邻“三角形数”之间，即存在，使得，由之前的计算可知，，即不是正整数．综上，命题得证．【小问3详解】只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．当时，，满足初值条件． 又．而．设，，其中．当是“三角形数”时，，．当不是“三角形数”时，由（2）知存在，使得，且，故．又，，故．因此，当是“三角形数”时，；当不是“三角形数”时，．综上所述，数列的通项公式为．