2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第30讲平面向量的数量积（达标检测）（Word版附解析）

第30讲平面向量的数量积（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•隆回县期末）已知，，则　　A．8B．7C．D．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积公式求解即可．【解答】解：，，则．故选：．2．（2020春•商洛期末）已知向量，，若，则　　A．B．C．D．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出．【解答】解：向量，，，，，解得．故选：．3．（2020春•汉台区校级月考）已知向量，，且，则　　A．5B．C．D．4【分析】根据即可求出，从而可得出的坐标，从而可得出的值．【解答】解：，，解得，，． 故选：．3．（2020春•五华区校级期末）已知单位向量，满足，则　　A．B．1C．D．0【分析】对条件式两边平方计算，再计算．【解答】解：是单位向量，，，，故，．故选：．4．（2020•贵阳模拟）已知非零向量满足，且，则与的夹角为　　A．B．C．D．【分析】根据列方程得出，再代入向量的夹角公式即可得出答案．【解答】解：，，即，，，．故选：．5．（2020春•兴宁区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为　　A．B．C．D．【分析】根据向量数量积公式转化求解即可．【解答】解：因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为；故选：． 6．（2020春•内江期末）已知向量，，，若，，则　　A．14B．C．10D．6【分析】通过向量的共线与垂直，求出，，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，则．故选：．7．（2020•石家庄模拟）设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是　　A．B．C．D．【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值．【解答】解：，由题意可知，，均为单位向量，故，连接，作，垂足为，设，，则，，，，，， 当，时，取得最小值．故选：．8．（2020春•驻马店期末）已知，，，若，则最大值为　　A．B．C．D．【分析】由平面向量数量积的定义可知，设，，则，结合平面向量数量积的坐标运算和，可得，若令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，于是当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，最大，为，从而得解．【解答】解：，，，即．设，，则，，，，，化简整理得，，令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．，当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时， 最大，为．故选：．9．（2020春•湖北期末）已知向量，满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则的值为　　A．B．C．D．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可得出，从而得出△，进而得出，，从而可求出的值．【解答】解：，的夹角为，且对任意的实数，不等式恒成立，，，整理得，，△，，，且，，．故选：．10．（多选）（2020•青岛模拟）已知向量，设的夹角为，则　　A．B．C．D．【分析】根据题意，求出、的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，，，则，，依次分析选项：对于，，，则不成立，错误；对于，，，则，即，正确； 对于，，，不成立，错误；对于，，，则，，，则，则，正确；故选：．11．（多选）（2020•山东模拟）在平行四边形中，，，，若为线段的中点，则　　A．B．C．D．【分析】画出图形，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可．【解答】解：在平行四边形中，，，，若为线段中点，建立如图所示的坐标系，则，，，则，，可得，，，，则；．故选：．12．（2020春•运城期末）已知，，且，则与夹角为　　．【分析】根据向量夹角的余弦公式即可得出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：，，且，与的夹角为．故答案为：． 13．（2020春•上高县校级期末）已知向量，，若，则实数的值为　　．【分析】可以得出，然后根据即可得出，从而解出即可．【解答】解：，，，解得．故答案为：．14．（2020•宁波模拟）已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若，，，，则　　．【分析】由题意可判断是的外心，是的垂心，结合，及可判断为的中点，从而可计算．【解答】解：，，即，，同理可得：，，是的垂心，，，是的外心，，，下面证明：，延长交圆于，则，又，，同理可得：，四边形是平行四边形，，， 设的中点为，则，，又，，与重合，故，．故答案为：15．（2020春•湖北期末）已知，，，，则　　．【分析】两边平方即可求出的值．【解答】解：，，，，，，，即，．故答案为：．16．（2020春•凉山州期末）已知，，．（1）求；（2）求与的夹角．【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出；（2）可设与的夹角为，然后可求出的值，根据求出 的值，从而可得出的值，进而得出的值．【解答】解：（1），，，；（2）设与的夹角为，由（1）与得，，，，且，，．17．（2020春•辽阳期末）已知单位向量，的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求．【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出的值．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值，可得，从而求出．【解答】解：（1）单位向量，的夹角为，与不共线．向量，向量，若，则，．（2）若，．，求得，，．18．（2020春•泸州期末）设平面向量，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若且，求实数的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得的坐标，可得它的模． （Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．【解答】解：（Ⅰ）向量，，0，，．（Ⅱ）若且，，，实数．19．（2020春•新余期末）如图，在中，已知，，，为线段中点，为线段中点．（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值．【分析】（1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可．（2）求出，的坐标，利用向量的数量积求解两个向量的夹角．【解答】解：（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：则，，，，因为为的中点，故， ，．（2）由为线段中点可知，，，．20．（2020春•滨州期末）如图，在中，为边上的一点，且与的夹角为．（1）设，求，的值；（2）求的值．【分析】（1）用表示出即可得出，的值；（2）表示出，，再计算的值．【解答】解：（1），，，，．（2），，，．[B组]—强基必备1．（2020春•焦作期末）在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有　　 A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．【解答】解：如图，设，由，得，又，，即有，，令，则，即恒成立．可得．化为，则．，即在上的投影为的中点．．故选：．2．（2020春•桃城区校级期中）已知平面单位向量的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为　　 A．B．C．D．【分析】由题意设，，，，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离，即到直线的距离；得出距离的最小值，求得的最大值为．【解答】解：平面单位向量的夹角为，设，，，，由得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，则的最大值为．故选：．3．（2020•镇海区校级模拟）已知平面向量，，，满足，，，若平面向量，且，则的最小值是　　．【分析】由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，，，于是有，而，且，，所以点的轨迹是以4 为焦距的双曲线的右支．再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．【解答】解：，，即，不妨令，由于，所以，，如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，，，且，，点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．，，如图，设的夹角为，则，，，，即，的夹角为，，，，， 当且仅当即时，取得等号．故答案为：．4．（2019•江苏三模）在平面四边形中，，，，若，则的最小值为　　．【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．可以推出点在圆上，然后将的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到的最小值．【解答】解：以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．则，，，，，．，所以，即，即点在以为圆心，以2为半径的圆上，取，则，所以，所以，即，所以取得最小值即取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，，故填：．