2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第28讲平面向量的概念及线性运算（讲）（Word版附解析）

第28讲平面向量的概念及线性运算（讲）思维导图知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量　单位向量记作a0，a0＝平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b 3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算　三角形法则　(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)　数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.题型归纳题型1平面向量的有关概念【例1-1】（2020春•临川区校级期中）下列说法正确的是（　　）A．零向量没有方向B．向量就是有向线段C．只有零向量的模长等于0D．单位向量都相等【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论． 【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等0，故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选：C．【例1-2】（2020春•芮城县月考）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若|a→|=|b→|，则a→=b→；③若|AB→|=|DC→|，则四边形ABCD是平行四边形；④若m→=n→，n→=k→，则m→=k→；⑤若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a→|=|b→|，则a→、b→不一定相同，∴②错误；对于③，若|AB→|=|DC→|，AB→、DC→不一定相等，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m→=n→，n→=k→，则m→=k→，④正确；对于⑤，若a→∥b→，b→∥c→，当b→=0→时，a→∥c→不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：C． 【跟踪训练1-1】（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若a→，b→都是单位向量，则a→=b→；③向量AB→与BA→相等，则所有正确命题的序号是（　　）A．①B．③C．①③D．①②【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误．【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB→与向量BA→互为相反向量，故③错误．故选：A．【跟踪训练1-2】（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是（　　）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a→，b→满足|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b→=0→时，a→∥b→，b→∥c→，则a→与c→不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．【跟踪训练1-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关于向量的叙述不正确的是（　　）A．向量AB→的相反向量是BA→ B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则AB→=CD→D．若向量a→与b→满足关系a→+b→=0→，则a→与b→共线【分析】根据相反向量、单位向量的定义即可判断出选项A，B的叙述是正确的，根据共线向量基本定理即可判断选项D的叙述是正确的，从而叙述不正确的只能选C．【解答】解：根据相反向量的定义即可判断选项A的叙述正确；根据单位向量的定义即可判断选项B的叙述正确；AB→与CD→的方向不一定相同，从而得出AB→=CD→是错误的；a→+b→=0→，得出a→=-b→，得出a→与b→共线是正确的．故选：C．【跟踪训练1-4】（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论：（1）若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=-b→；（2）向量a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a→与b→同向，且|a→|＞|b→|，则a→＞b→．其中正确的序号为（　　）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）【分析】根据向量的定义，平行向量和相等向量的定义判断即可．【解答】解：根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量a→，b→都是零向量时，由向量a→，b→平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．故选：D．【名师指导】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．题型2向量的线性运算【例2-1】（2020•海南）在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB→=（　　）A．2CD→+CA→B．CD→-2CA→C．2CD→-CA→D．CD→+2CA→【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB→=CD→+DB→=CD→+AD→=CD→+(AC→+CD→)＝2CD→-CA→．故选：C．【例2-2】（2020•绥化模拟）已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则EC→=（　　）A．13AB→+23AC→B．12AB→+23AC→C．-13AB→+56AC→D．-12AB→+56AC→【分析】根据条件可画出图形，可得出EC→=-12(CD→+CB→)，然后带人CD→=-23AC→，CB→=AB→-AC→，进行向量数乘运算即可得出答案．【解答】解：如图，根据题意，EC→=-12(CD→+CB→)=-12⋅(23CA→+AB→-AC→)=-12⋅(-23AC→-AC→+AB→)=-12AB→+56AC→．故选：D． 【例2-3】（2020春•焦作期末）在正方形ABCD中，点M，N分别满足DM→=MC→，CN→=λNB→，且AD→-AB→=2NM→，则λ＝（　　）A．2B．1C．12D．13【分析】可画出图形，根据条件即可得出M为CD的中点，而根据AD→-AB→=2NM→可得出BD→=2NM→，从而得出N为BC的中点，从而得出CN→=NB→，从而得出λ的值．【解答】解：如图，∵DM→=MC→，∴M为CD的中点，∵AD→-AB→=BD→=2NM→，∴N为BC的中点，∴CN→=NB→，∴λ＝1．故选：B．【跟踪训练2-1】（2020春•凉山州期末）如图，△ABC中，已知CD→=2DB→，则AD→=（　　）A．13AB→+23AC→B．34AB→+14AC→C．14AB→+34AC→D．23AB→+13AC→【分析】根据条件可得出AD→-AC→=2(AB→-AD→)，然后根据向量的数乘运算解出向量AD→即可．【解答】解：∵CD→=2DB→， ∴AD→-AC→=2(AB→-AD→)，∴AD→=23AB→+13AC→．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020•东莞市二模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→-12OB→-3OC→=0→，则（　　）A．OA→=12AB→+3AC→B．OA→=-12AB→+3AC→C．OA→=12AB→-3AC→D．OA→=-12AB→-3AC→【分析】把已知条件整理即可求解结论．【解答】解：因为点O满足16OA→-12OB→-3OC→=0→，故OA→+12OA→-12OB→+3OA→-3OC→=0→；即：OA→+12BA→+3CA→=0→⇒OA→=12AB→+3AC→；故选：A．【跟踪训练2-3】（2020•湖北模拟）△ABC中，点D为BC的中点，AB→=3AE→，M为AD与CE的交点，若AM→=λAD→，则实数λ＝（　　）A．14B．13C．25D．12【分析】根据D为BC的中点可得出AD→=12AB→+12AC→，再根据AB→=3AE→即可得出AM→=3λ2AE→+λ2AC→，而根据E，M，C三点共线即可得出3λ2+λ2=1，解出λ即可．【解答】解：如图，D为BC的中点，∴AD→=12AB→+12AC→，又∵AM→=λAD→，且AB→=3AE→，∴AM→=λ2AB→+λ2AC→=3λ2AE→+λ2AC→，且E，M，C三点共线，∴3λ2+λ2=1，解得λ=12．故选：D． 【名师指导】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．题型3共线向量定理的应用【例3-1】（2020春•新余期末）已知两个非零向量e1→，e2→不共线，若AB→=λe1→+3e2→，BC→=6e1→+23e2→，CD→=4e1→-8e2→，且A、B、D三点共线，则λ等于　　．【分析】可求出BD→=10e1→+15e2→，根据A，B，D三点共线即可得出λe1→+3e2→=10ke1→+15ke2→，然后根据平面向量基本定理即可求出λ的值．【解答】解：BD→=BC→+CD→=10e1→+15e2→，∵A，B，D三点共线，∴设AB→=kBD→，即λe1→+3e2→=10ke1→+15ke2→，∴λ=10k15k=3，解得λ＝2．故答案为：2．【例3-2】（2019春•西城区校级期中）向量OA→=（k，12），OB→=（4，5），OC→=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．【分析】由条件和向量的坐标运算求出AB→、BC→的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出k的值．【解答】解：由题意得，AB→=（4﹣k，﹣7），BC→=（6，k﹣5）， ∵A、B、C三点共线，∴AB→∥BC→，∴（4﹣k）（k﹣5）+42＝0，即k2﹣9k﹣22＝0，解得k＝﹣2或k＝11．综上知，当k＝﹣2或k＝11时，A、B、C三点共线【跟踪训练3-1】（2020•江都区校级模拟）在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记AB→=a→，AC→=b→，若DE→=xa→+yb→，则x+y的值为　　．【分析】可画出图形，根据AD＝DB，BE＝2EC即可得出DB→=12AB→，BE→=23(AC→-AB→)，再根据AB→=a→，AC→=b→便可得出DE→=-16a→+23b→，又知DE→=xa→+yb→，这样根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴DB→=12AB→，BE→=23BC→=23(AC→-AB→)，且AB→=a→，AC→=b→；∴DE→=DB→+BE→=12a→+23(b→-a→)=-16a→+23b→；又DE→=xa→+yb→；∴根据平面向量基本定理得，x=-16，y=23；∴x+y=12．故答案为：12．【跟踪训练3-2】（2020•茂名二模）设a→，b→是不共线的两个平面向量，已知AB→=a→-2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）A．2B．﹣2C．6D．﹣6 【分析】根据题意，分析可得AB→∥BC→，进而可得k-2=31，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则AB→∥BC→，又由AB→=a→-2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，则有k-2=31，解可得k＝﹣6；故选：D．【跟踪训练3-3】（2020春•临川区校级期中）设a→，b→不共线，AB→=a→+3b→，BC→=a→+2b→，CD→=3a→+mb→，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（　　）A．23B．15C．72D．152【分析】根据A，C，D三点共线，得到AC→=λCD→，即可求解结论．【解答】解：∵AB→=a→+3b→，BC→=a→+2b→，∴AC→=AB→+BC→=2a→+5b→，∵A，C，D三点共线，∴AC→=λCD→，即2a+5b＝λ（3a+mb），∴2=3λ5=λm，解得λ=23m=152．故选：D．【名师指导】利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．