2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第28讲平面向量的概念及线性运算（达标检测）（Word版附解析）

第28讲平面向量的概念及线性运算（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•河西区期中）如果，是两个单位向量，则与一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等【分析】根据，是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．【解答】解：因为，是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．（2020春•三台县期中）如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是（）A．B．C．D．【分析】由题意先证明DE∥CB且DECB，再利用中点找出所有与向量相等的向量【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DECB，则与向量相等的有，．故选：D．3．（2020•靖远县模拟）已知香䁞，，下列向量中，与反向的单位向量是（）A．香䁞，B．香，䁞C．香䁞，䁞D．香，【分析】根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），可得的坐标为（﹣λ，λ），由单位向量的定义可得（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得λ的值，即可得的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0）， 则λ（﹣λ，λ），（λ＜0），为单位向量，则（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得：λ＝±，又由λ＜0，则λ䁞，故（，䁞）；故选：B．4．（2020春•平谷区期末）化简向量䁞䁞等于（）A．B．C．D．【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．【解答】解：䁞䁞䁞䁞．故选：A．5．（2019秋•茂名期末）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．䁞B．䁞C．D．【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，故香香䁞䁞．故选：A． 6．（2019秋•常德期末）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则（）A．B．C．D．【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．【解答】解：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，∴，故选：C．7．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：䁞，再由三角形法则可求向量．【解答】解：设kk（䁞）＝k（䁞），∵k（䁞）䁞（k﹣1）（1﹣k），䁞䁞． ∵∥，∴λ，则（k﹣1）（1﹣k）λ（䁞）．䁞䁞∴，∴k，䁞，∴．䁞故选：B．8．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则（）A．B．䁞C．D．【分析】根据等边三角形外心的性质得出，再根据三点共线的基本性质，求解即可．【解答】解：由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，∴，点D为劣弧AC的中点，∴，∴，又因为和有公共点，所以B，O，D三点共线．圆O中，香香．故选：A．9．（2020•毕节市模拟）如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共 线即可得出t的值．【解答】解：∵，∴，∴，且B，P，N三点共线，∴，解得．故选：C．10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．B．C．䁞D．【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知䁞，所以结论中错误的是C．ABD均正确．故选：ABD．11．（2020春•红桥区期中）计算：䁞．【分析】利用向量线性运算性质即可得出．【解答】解：䁞．故答案为：．12．（2019秋•闵行区校级月考）已知点P是直线P1P2上一点，且䁞，若，则实数λ＝【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果．【解答】解：由题意，䁞䁞（）＝﹣（䁞）䁞． ∴λ䁞．故答案为：䁞．13．（2020春•忻府区校级期中）对下列命题：（1）若向量与同向，且||＞||，则＞；（2）若向量||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||＝||，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为【分析】直接根据向量的基本性质以及的特殊性即可判断．【解答】解：（1）向量不能比较大小，故不正确；（2）向量||＝||，只能说长度相等，方向不定；故错误；（3）由相等向量的定义可得其正确；（4）错误，与任意向量平行；（5）若其中一个是，其错误；故真命题只有（3）即1个；故答案为：1．14．（2019秋•百色期末）已知向量，是两个不共线的向量，且向量䁞与香䁞共线，则实数m的值为．【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得m的值．【解答】解：因为向量䁞与香䁞共线，䁞所以，䁞解得m＝﹣1或m＝3．故答案为：﹣1或3． 15．（2020•肇庆一模）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；由①、②得出，从而求出λ的值．【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，2，，如图所示，∴2①，，∴2222䁞2②；①+②得，32，∴；∴λ．故答案为：．16．（2019春•赣州期中）已知，不共线，若k∥，试确定k的值．【分析】据条件可知，，而根据香香可知，存在实数λ，使得香，从而得出，解出k即可．【解答】解：∵，不共线；∴；又；∴存在实数λ，使；即；解得k＝±1． 17．（2020春•石嘴山校级期中）（1）化简：香䁞䁞香香；（2）设两个非零向量与不共线．如果，，香䁞，求证：A、B、D三点共线．【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出，共线，进而得出A，B，D三点共线．【解答】解：（1）原式香䁞香䁞䁞；（2）证明：∵香䁞香，∴，又，有公共点B，∴A，B，D三点共线．18．（2020春•温州期中）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，．（1）用，表示向量，．（2）若，求实数λ的值．【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用，表示向量，．（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且，由平行四边形法则得2，则2䁞2䁞， 则䁞2䁞䁞2䁞．（2）由图知∥，∵䁞2䁞䁞λ（2﹣λ）䁞，䁞，䁞䁞∴，䁞解得．19．（2019秋•厦门期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，．（1）用、表示，并求||；（2）若，求实数λ的值．【分析】（1）由向量的线性运算得：䁞䁞䁞，||䁞䁞；（2）设，，由向量的线性运算得：在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（䁞），又，不共线，则，解得：得解䁞【解答】解：（1）䁞䁞䁞，||䁞䁞；（2）设，，在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（䁞）， 又，不共线，则，䁞解得：故实数λ的值为．[B组]—强基必备1．（2019春•建平县期末）过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若x，y，xy≠0，则4x+y的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．【解答】解：设△ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线∴存在λ使得香䁞∵，且∴，化简得：香䁞∴香香故选：B．2．（2020•香坊区校级三模）在△ABC中，，且，，（其中x，y∈（0，1）），且x+4y＝1，若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为．【分析】根据平面向量的数量积运算求得•的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算||的最小值即可．【解答】解：连接CM、CN，如图所示；∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB， ∴∠ACB＝120°，∴•||•||cos120°䁞；又CM是△CEF的中线，∴（）（xy）同理，可得（），由此可得䁞（1﹣x）（1﹣y），22∴（1﹣x）（1﹣x）（1﹣y）×（䁞）（1﹣y）；又x+4y＝1，∴1﹣x＝4y，222代入上式得4y﹣y（1﹣y）（1﹣y）y䁞y；又x，y∈（0，1），∴当y时，取得最小值为，此时||的最小值为．故答案为：．