2023年新高考一轮复习讲义第30讲 平面向量的概念及线性运算（解析版）

第30讲　平面向量的概念及线性运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1.给出下列说法:①两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;②两个有共同终点的向量,一定是共线向量;③非零向量AB与非零向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中错误说法的个数是(　)A.1B.2C.3D.4C　[解析]对于①,相等向量是大小相等,方向相同的向量,故两个有共同起点的相等向量,其终点必相同,故①正确;对于②,共线向量是指方向相同或相反的向量,两个有共同终点的向量,其方向可能既不相同又不相反,故②错误;对于③,共线向量是指方向相同或相反的向量,向量AB与向量CD是共线向量,则线段AB和CD平行或共线,故③错误;对于④,有向线段是向量的表示形式,不能等同于向量,故④错误.4个说法中有3个错误,故选C.2.下列各式不能化简为PQ的是(　)A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BA-QC)C.QC-QP+CQD.PA+AB-BQD　[解析]对于A,AB+(PA+BQ)=AQ+PA=PQ;对于B,(AB+PC)+(BA-QC)=PC-QC=PQ;对于C,QC-QP+CQ=-QP=PQ.故选D.3.在△ABC中,D是AB边上的中点,则CB=(　)A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CAC　[解析]∵在△ABC中,D是AB边上的中点,∴CB=CD+DB=CD+AD=CD+(AC+CD)=2CD-CA.故选C.4.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-3b,CD=-5a-5b,则四边形ABCD的形状是(　)试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对C　[解析]∵AD=AB+BC+CD=-8a-6b,∴AD=2BC,∴AD∥BC,且AD≠BC,∴四边形ABCD是梯形.故选C.5.已知向量a,b不共线,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是(　)A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,DA　[解析]∵BD=BC+CD=2a+4b,∴BD=2AB,又BD,AB有公共点B,∴A,B,D三点共线.故选A.6.[2022·新乡二模]在△ABC中,AE=310·(AB+AC),D为BC边的中点,则(　)A.3AE=7EDB.7AE=3EDC.2AE=3EDD.3AE=2EDC　[解析]因为D为BC边的中点,所以AB+AC=2AD,因为AE=310(AB+AC),所以AE=35AD,则2AE=3ED.故选C.7.2020年10月27日,在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上,东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作,该基站也是我国首个海上风机塔AIS基站.已知风机的每个转子叶片的长度为20米,每两个叶片之间的夹角相同,风机塔(杆)的长度为60米,叶片随风转动,假设叶片与风机塔在同一平面内,如图所示,则|OA+OB+OM|的最小值为(　)A.40B.207C.2010D.80A　[解析]由题知,OA+OB+OC=0,即OA+OB=CO,则OA+OB+OM=CO+OM=CM,则当叶片OC旋转到最低点时,|CM|最小,且其值为60-20=40.8.如图,在△ABC中,AD=3DB,P为CD上一点,且AP=mAC+12AB,则m的值为(　)A.12B.13C.14D.15B　[解析]∵AD=3DB,∴AB=43AD,又AP=mAC+12AB,∴AP=mAC+23AD,又C,P,D三点共线,∴m+23=1,解得m=13.故选B.试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司 9.(多选)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且BC=3EC,F为线段AE的中点,则下列结论正确的是(　)A.BC=-12AB+ADB.AF=13AB+13ADC.BF=-23AB+13ADD.CF=16AB-23ADABC　[解析]连接BD(图略),∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴BC=BD+DC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+AD,A正确;∵BC=3EC,∴BE=23BC=23×-12AB+AD=-13AB+23AD,∴AE=AB+BE=AB+-13AB+23AD=23AB+23AD,又F为线段AE的中点,∴AF=12AE=13AB+13AD,B正确;BF=BA+AF=-AB+13AB+13AD=-23AB+13AD,C正确;CF=CB+BF=BF-BC=-23AB+13AD--12AB+AD=-16AB-23AD,D错误.故选ABC.10.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　)A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若2CM=CA+CB,则△MBC的面积是△ABC面积的12ACD　[解析]若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点,故A正确;若AM=2AB-AC,则AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;由2CM=CA+CB,可得M为边AB的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的12,故D正确.故选ACD.11.已知向量a与b的方向相反,|a|=1,|b|=2,则|a-2b|=　　　　. 5　[解析]因为向量a与b的方向相反,所以|a-2b|=|a|+2|b|=1+4=5.12.已知△ABC所在的平面上有一点D满足AD=3AB+AC4,且BD=λCD(λ∈R),则λ=　　　　. -13　[解析]由AD=3AB+AC4,可得4AD=3AB+AC,所以3AD+AD=3AB+AC,则3(AD-AB)=AC-AD,所以3BD=DC,试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故BD=-13CD,所以λ=-13.13.[2022·河北五个一联盟二模]点M在△ABC的内部,且满足2MA+3MB+4MC=0,则S△MAC∶S△MAB=　　　　. 3∶4　[解析]根据题意,分别延长MA至D,MB至E,MC至F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示:由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0,连接DE,DF,EF,所以点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,设S△MDE=1,则S△MAB=12×13×1=16,S△MAC=12×14×1=18,所以S△MAC∶S△MAB=18∶16=3∶4.14.已知两个非零向量a和b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.(1)若2OA-3OB+OC=0,求k的值;(2)若A,B,C三点共线,求k的值.解:(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.(2)∵A,B,C三点共线,∴设BC=λAB,即OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k-1=-λ,10=5λ,消去λ得k=-1.15.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求GA+GB+GO;(2)若PQ过△ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:1m+1n=3.解:(1)连接GM(图略),因为GA+GB=2GM,2GM=-GO,所以GA+GB+GO=-GO+GO=0.(2)证明:易知OM=12(a+b),因为G是△ABO的重心,所以OG=23OM=13(a+b).试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由P,G,Q三点共线,设QG=tQP,所以OG-OQ=t(OP-OQ),即OG=tOP+(1-t)OQ,即13a+13b=mta+(1-t)nb.由a,b不共线,得mt=13,(1-t)n=13,所以1m+1n=3.【素养提升】1.已知P为△ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,则△ABC的面积为(　)A.3B.23C.33D.43B　[解析]设BC边的中点为D,AC边的中点为M,连接PD,MD,BM(图略),则有PB+PC=2PD.由AB+PB+PC=0,得AB=-2PD,又D为BC边的中点,M为AC边的中点,所以AB=-2DM,则PD=DM,则P,D,M三点共线且D为线段PM的中点.又D为BC边的中点,所以四边形CPBM为平行四边形.因为|AB|=|PB|=|PC|=2,所以|MC|=|BP|=2,则AC=4,且BM=PC=2,所以△AMB为等边三角形,所以∠BAC=60°,则S△ABC=12×2×4×32=23.故选B.2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点,且PB⊥PD,则|PA|的最大值是　　　　,|PA+PC|=　　　　. 5　5　[解析]连接AC,BD,设对角线AC,BD的交点为O,∵AB=3,AD=4,∴AC=BD=9+16=5.∵P为矩形ABCD所在平面上一点,且PB⊥PD,∴点P在以线段BD为直径的圆上,即点P的轨迹是以O为圆心,AC2=52为半径的圆(除去B,D两点),A,C两点也在圆上,则|PA|的最大值为圆的直径,即|PA|的最大值为5.连接PO,则PA+PC=2PO,∴|PA+PC|=2|PO|=5.试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第6页，共1页学科网（北京）股份有限公司