新高考数学题型全归纳之排列组合专题03 排队问题（解析版）

专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　A．1440种B．960种C．720种D．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有种排法，第二步，位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法第三步，2名老人之间的排列，有种排法最后，三步方法数相乘，共有种排法故选：．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是　　A．B．C．D．【解析】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，为故选：．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为　　A．B．C．D．【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有，16 不同的调整方法有，故选：．例4．在数字1，2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是　　A．6B．12C．24D．18【解析】在数字1，2，3与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“”，“”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，故选：．例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　A．B．C．D．【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有种放法，再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有种方法，故不同的陈列法有种，故选：．例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　A．360B．288C．216D．96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有种，16 不同的排列方法共有种故选：．例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有　　种．A．576B．720C．864D．1152【解析】根据题意，先排1、5、7，有种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有种情况，则此时有种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有种；故选：．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　A．168B．20160C．840D．560【解析】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，则不同调整方法的种数是．故选：．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组416 列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　A．36种B．108种C．216种D．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有，再将两组分别按要求排序，各有种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有种．故选：．例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】中，中，中，中．综上可得：正确．故选：．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有　576　个．（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列，根据分步计数原理得到这种数字的总数有，故答案为：576．例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数16 （1）甲站正中间的排法有　8！　种，甲不站在正中间的排法有　　种．（2）甲、乙相邻的排法有　　种，甲乙丙三人在一起的排法有　　种．（3）甲站在乙前的排法有　　种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有　　种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有　　种．（4）甲乙不站两头的排法有　　种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有　　种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有　　种．（6）女生互不相邻的排法有　　种，男女相间的排法有　　种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有　　种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有　　种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有！；（2）甲、乙相邻的排法有！，甲乙丙三人在一起的排法有！；（3）甲站在乙前的排法有！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有！；（4）甲乙不站两头的排法有；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！！！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有！！；（6）女生互不相邻的排法有5！；男女相间的排法有5！！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！！！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．！．故答案为：（1）8！，！（2）！，！（3）！，！，！；（4）；9！！！；（5）！！；（6）5！，5！！（7）9！！！；（8）！．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有　10　种（结果用数值表示）．【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，16 第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有故答案为10例14．从集合，，，与，1，2，3，4，5，6，7，8，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是　5832　．（用数字作答）、【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有；每排中字母和数字0都出现有符合题意不同排法种数是．故答案为：5832例15．从集合，，，，与，1，2，3，4，5，6，7，8，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是　8424　．（用数字作答）．【解析】由题意知每排中字母，和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选，有（2）这三个元素只选同理有（3）这三个元素只选0有（4）这三个元素0都不选有根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来故答案为：8424例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是　　（结果用分数表示）．【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：16 首先两套中任取一套，作全排列，有种方法；剩下的一套全排列，有种方法；概率为：，故答案为：．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有320种不同的排法．（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有400种不同的排法．（4）三个女生和五个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生的排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有000种不同的排法．（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的，因此共有160种不同的排法．例18．三个女生和五个男生排成一排．16 （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，种例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有种情况，再将其与4名男生进行全排列，有种情况，则共有种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有种情况，则共有种排法；16 （3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有种情况，则共有种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有种站法，则共有种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有种排法．例20．现有8个人男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，16 将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，16 将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法？根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法．例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有种方法．（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有种，故共有种方法．（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种．16 （4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空，插入3名女生，有种的排法．（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有种，而所有的方法有种，故两端不能都排男生的排法有种．（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有种不同的排法．例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有种；（2）丁不能排在中间，先排丁有种排法，然后其他任意排有种，所以丁不能排在中间共有种；（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有，其他任意排列有种，所以丙、丁必须排在两端共有种；（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有种，其他任意排列有种，所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有种；（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，①甲在排尾，其他任意排列有种，16 ②甲不在排尾，甲有种，然后乙有种，其他任意排列有种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有种．例23．7位同学站一排．（1）站成两排（前3后，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排，（1）站成两排（前3后，共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是种；（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是种；（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是种；（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第16 一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是；（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共种，将其看作一个元素与另五个元素全排列，有种，故共有种；（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有种；（7）甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有种；（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有种；（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有种；甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有种？甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有种排法．例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？①甲、乙必须站在排头或排尾②甲、乙．丙三人相邻③甲、乙、丙三人互不相邻④甲不在排头，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．【解析】①甲、乙必须站在排头或排尾，则有种不同排法；②甲、乙、丙三人相邻，则有种不同排法；③甲、乙、丙三人互不相邻，则有种不同排法；16 ④甲不在排头，乙不在排尾，则有种不同排法；⑤6个人站成一排，有种，甲在左端的有种，甲和乙相邻的有种，甲既在左端也和乙相邻的有，所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有种．例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？【解析】（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图□□□□，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位，如图中箭头所示□□□□，即从4个空当中选2个插入，有种插法；二是2张插入同一个空位，有种插法，再考虑3人可交换有种方法，所以，共有（种．（2）可先让4人坐在4个位置上，有种排法，再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，所以所求的坐法数为．例26．6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【解析】6个人排有种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有种插法，16 故空位不相邻的坐法有种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有种．（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法．综合上述，应有种坐法．16