（新课标）2022年高考数学 题型全归纳 应用性问题典例分析

应用性问题1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；3．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．典例分析例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于（）（A）（B）（C）或（D）3解：C提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是（）ABCD解：A（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（）ABCD解：B（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是．解：90.8nmi(5)货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角，A处有灯塔，其方位角，在C处观测灯塔A的-5-\n方位角，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是解：km提示：由题意知，利用余弦定理或解直角三角形可得。变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？北2010AB•C解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.于是,BC=10.∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即解得答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，-5-\n所以，由正弦定理可知：所以，于是A到BC所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁危险。例3.如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD，ED，求用表示的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明.解：（1）在△ABC中，D在AB上，S△ADE=S△ABC，在△ADE中，由余弦定理得：（2）令，则则令，则；有最小值，此时DE∥BC，且-5-\n有最大值，此时DE为△ABC的边AB或AC的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？解：设，则，所以设两腰与下底之和为，则当且仅当时，上式取等号，即当时，上式取等号，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．例4.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解：设，在△AOB中，由余弦定理得：于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC-5-\n因为，所以当，，即时，四边形OACB面积最大．变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则则BC=4，由已知得在△AEC中，由正弦定理得：在△ABC中，由正弦定理得：在△ABE中，由余弦定理得：所以船速答：该船的速度为km/h-5-