（新课标）2022年高考数学 题型全归纳 应用举例1典型例题

（新课标）2022年高考数学题型全归纳应用举例1典型例题1、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度．解：如图所示，A、B两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得∠BCO=，∠ACO=，∴∠BCA=∠BCO－∠ACO=－=．由题意，知∠BAC=，∠ABC=．在△ABC中，由正弦定理，得：=，即有AC===＋6．在直角三角形AOC中，有：OC=AC·cos=(＋6)×=9＋．设步行速度为x米/分，则x==3＋≈4.7．即此人步行的速度为4.7米/分．2、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．-6-\n解：如图，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=，∠BAP=，由正弦定理，得：=，即=，解得BP=．在△BPC中，BC=30×=40，由已知∠PBC=，∴PC===(海里)．所以P、C间的距离为海里．3、已知的周长为，且．⑴求边的长；⑵若的面积为，求角的度数．解：⑴由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．⑵由的面积，得，由余弦定理，得　，所以．-6-\n4.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,则sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC===35从而有MB=MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。5.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，-6-\nAD=DC=10，ADC=180-4，=。因为sin4=2sin2cos2cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=①在RtADE中，sin4=,②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m6.某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？-6-\n解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x)=9+(10x)-2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC=10x=15,AB=14x=21,又因为sinBAC===BAC=38,或BAC=141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.7.我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）解：如图，在ABC中由余弦定理得：BC=AC+AB-2ABACcosBAC=20+12-21220(-)=784BC=28我舰的追击速度为14nmile/h又在ABC中由正弦定理得：=,故sinB==B=arcsin-6-\n答：我舰的追击速度为14nmile/h，航行方向为北偏东（-arcsin）-6-