初升高数学全体系衔接专题18 集合的基本运算（补集与集合的综合应该运算）（教师版）

专题18集合的基本运算（补集与集合的综合应该运算）学习目标1.在具体情境中，了解全集的含义2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集高中必备知识点2：补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x&isin;U，且x&notin;A}图形语言[知识点拨]　(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A&cup;(∁UA)＝U，A&cap;(∁UA)＝&empty;，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝&empty;，∁U&empty;＝U，∁U(A&cap;B)＝(∁UA)&cup;(∁UB)，∁U(A&cup;B)＝(∁UA)&cap;(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．,典例剖析高中必会题型1：补集的运算1．设全集，，，求的值【答案】或.因为，所以，，解得或，当时，，，满足，符合题意；当时，，，满足，符合题意；所以或.2．已知全集，如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】存在，是或.∵，&there4;且，即，解得，,当时，，是中的元素，不符合题意；当时，；当时，.&there4;这样的实数存在，是或.3．已知全集，，，且，，，求集合，．【答案】，因为，所以且，因为，所以且，因为，所以，因此有，.4．设集合，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值集合.【答案】（1）；（2）.（1）由得：，解得：；（2）①若，解得：或，当时，，满足题意，当时，，满足题意，②若，解得：或，当时，，，满足题意，当时，，，满足题意，综上所述，实数的取值集合为：.,5．已知集合，集合，．（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）2；（2），或．（1）因为，所以，所以，所以；（2），或，由已知可得，所以或，所以或，故实数m的取值范围为，或．高中必会题型2：集合的交并、补集的综合运算1．已知U={x&isin;R|1<x≤7}，a={x∈r|2≤x<5}，b={x∈r|3≤x≤7}.求：（1）a∪b；（2）(ua)∪(ub).【答案】（1）a∪b={x|2≤x≤7}；（2）(ua)∪(ub)={x|1<x<3或5≤x≤7}.(1)因为a={x|2≤x<5}，b={x|3≤x≤7}，所以a∪b={x|2≤x≤7}.(2)因为u={x|1<x≤7}，a={x∈r|2≤x<5}，b={x∈r|3≤x≤7}.所以ua={x|1<x<2或5≤x≤7}，ub={x|1<x<3}，所以(ua)∪(ub)={x|1<x<3或5≤x≤7}.2．已知集合，或，．（ⅰ）求；（ⅱ）求．,【答案】（1）（2）（1）因为，或，所以（2）由或，知，所以.3．已知全集.集合,.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）解：（1）因为全集.集合,.所以（2）因为，所以，所以4．已知全集，集合，集合，（1）求，；（2）求，.【答案】（1）；（2），.（1）因为，，，所以，；（2）因为，，，所以，，所以.,5．已知全集，集合．（ⅰ）求和；（ⅱ）求．【答案】（ⅰ），；（ⅱ）或（ⅰ）,，,（ⅱ），，或高中必会题型3：与补集有关的求参数问题1．已知集合u={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a={﹣1，0，1}，b={1，2}，则∁u(a∪b)=___________.【答案】{﹣2，3}解：∵u={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a={﹣1，0，1}，b={1，2}，∴a∪b={﹣1，0，1，2}，∁u(a∪b)={﹣2，3}.故答案为：{﹣2，3}.2．已知集合，，则＝_____．【答案】∵，，∴，∴．故答案为：．3．已知集合，，，则______．【答案】由题意，而，所以．,故答案为：.4．已知全集，，，则=_______【答案】.因为全集，，所以，又因为，所以，故答案为：.5．已知全集，定义，若，，则___________.【答案】由题意可知，，所以.故答案为：对点精练1．设集合a={1，2，3，4}，b={3，4，5}，全集u=a∪b，则集合u(a∩b)=（）a．{1，2，3，5}b．{1，2，3}c．{1，2，5}d．{1，2，3，4，5}【答案】c因为a={1，2，3，4}，b={3，4，5}，所以全集u=a∪b={1，2，3，4，5}，a∩b={3，4}，所以u(a∩b)={1，2，5}.故选：c.2．已知集合m＝{x∈r|x2﹣2x＝0}，u＝{2，1，0}，则（>3}D．{x|x&le;-1或x&ge;3}【答案】C由题意，全集，集合，所以或，故选C.,12．设集合M＝{x|－1&le;x&lt;2}，N＝{x|x－k&le;0}，若(∁RM)&supe;(∁RN)，则k的取值范围是(　　)A．k&le;2B．k&ge;－1C．k&gt;－1D．k&ge;2【答案】D【解析】由可知，则的取值范围为.故选D.13．已知集合U＝R，A＝{x|﹣1&le;x&le;1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.【答案】a&le;﹣1求出∁UA，再利用集合的包含关系即可求解.因为A＝{x|﹣1&le;x&le;1}，所以∁UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}若B&sube;∁UA，则a&le;﹣1.故答案为：a&le;﹣1.14．设全集U＝M&cup;N＝{1，2，3，4，5}，M&cap;∁UN＝{2，4}，则N＝________．【答案】【解析】M&cup;N元素去掉M&cap;∁UN元素得N＝{1，3，5}15．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A&cap;B)＝________.【答案】{1，4，5}因为集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}所以A&cap;B＝{2，3}，所以∁U(A&cap;B)＝{1，4，5}．故答案为{1，4，5}.16．已知全集为R，集合M＝{x&isin;R|&minus;2＜x＜2}，P＝{x|x&ge;a}，并且，则实数a的取值范围是________．【答案】a&ge;2【解析】,由题意得M＝{x|&minus;2＜x＜2}，＝{x|x＜a}．∵M&sube;，&there4;由数轴知a&ge;2.17．已知集合U={x&isin;Z|-2<x<10}，a={0，1，3，4，8}，b={-1，1，4，6，8}.求a∩b，u(a∪b)，a∩(ub)，b∪(ua).【答案】a∩b={1，4，8}，u(a∪b)={2，5，7，9}，a∩(ub)={0，3}，b∪(ua)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.集合u={x∈z|-2<x<10}={-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，a={0，1，3，4，8}，b={-1，1，4，6，8}，所以a∩b={1，4，8}，a∪b={-1，0，1，3，4，6，8}，所以u(a∪b)={2，5，7，9}，又ub={0，2，3，5，7，9}，ua={-1，2，5，6，7，9}，所以a∩(ub)={0，3}，b∪(ua)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.18．已知全集，集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或，（2）解：（1）因为全集，，所以或，因为所以或，（2）因为，，所以，当集合时，成立，则，解得，当集合时，则,，解得，综上，的取值范围19．已知全集u＝r，集合a＝{x|－1<x<2}，b＝{x|0<x≤3}.求：（1）a∩b；（2）∁u(a∪b)；（3）a∩(∁ub).【答案】（1）；（2）或；（3）.(1)因为a＝{x|－1<x<2}，b＝{x|0<x≤3}，所以a∩b＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}.(2)a∪b＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，∁u(a∪b)＝{x|x≤－1或x>3}.(3)A&cap;(∁UB)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x&le;0}＝{x|－1<x≤0}.20．已知集合a={x|x2-x-2=0}，b={x|x2+mx+m-1=0}.（1）当m=1时，求(∁rb)∩a;（2）若(∁ra)∩b=⌀，求实数m的取值.【答案】（1）(∁rb)∩a={2}；（2）m的取值为2或-1.解方程x2-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x=-1，或x=2.故a={-1，2}.（1）当m=1时，方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0，解得x=-1，或x=0.故b={-1，0}，∁rb={x|x≠-1，且x≠0}.所以(∁rb)∩a={2}.（2）由(∁ra)∩b=⌀可知，b⊆a.方程x2+mx+m-1=0的判别式δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当δ=0，即m=2时，方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0，解得x=-1，故b={-1}.,此时满足b⊆a.②当δ>0，即m&ne;2时，方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解，故集合B中有两个元素.又因为B&sube;A，且A={-1，2}，所以A=B.故-1，2为方程x2+mx+m-1=0的两个解，由根与系数之间的关系可得解得m=-1.综上，m的取值为2或-1.21．全集，对集合A、B定义，定义.若集合，求.【答案】或解：因为，所以或，或，所以，，所以或22．已知集合或，.（1）若，求实数的取值范围；（2）当取使不等式恒成立的的最小值时，求.【答案】（1）或；（2）.（1）或，，，，若，则，解得或，所以的取值范围为或；,（2）由得恒成立，则，解得，所以的最小值为，当时，或，</x≤0}.20．已知集合a={x|x2-x-2=0}，b={x|x2+mx+m-1=0}.（1）当m=1时，求(∁rb)∩a;（2）若(∁ra)∩b=⌀，求实数m的取值.【答案】（1）(∁rb)∩a={2}；（2）m的取值为2或-1.解方程x2-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x=-1，或x=2.故a={-1，2}.（1）当m=1时，方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0，解得x=-1，或x=0.故b={-1，0}，∁rb={x|x≠-1，且x≠0}.所以(∁rb)∩a={2}.（2）由(∁ra)∩b=⌀可知，b⊆a.方程x2+mx+m-1=0的判别式δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当δ=0，即m=2时，方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0，解得x=-1，故b={-1}.,此时满足b⊆a.②当δ></x<2}∩{x|x></x<10}，a={0，1，3，4，8}，b={-1，1，4，6，8}.求a∩b，u(a∪b)，a∩(ub)，b∪(ua).【答案】a∩b={1，4，8}，u(a∪b)={2，5，7，9}，a∩(ub)={0，3}，b∪(ua)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.集合u={x∈z|-2<x<10}={-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，a={0，1，3，4，8}，b={-1，1，4，6，8}，所以a∩b={1，4，8}，a∪b={-1，0，1，3，4，6，8}，所以u(a∪b)={2，5，7，9}，又ub={0，2，3，5，7，9}，ua={-1，2，5，6，7，9}，所以a∩(ub)={0，3}，b∪(ua)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.18．已知全集，集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或，（2）解：（1）因为全集，，所以或，因为所以或，（2）因为，，所以，当集合时，成立，则，解得，当集合时，则,，解得，综上，的取值范围19．已知全集u＝r，集合a＝{x|－1<x<2}，b＝{x|0<x≤3}.求：（1）a∩b；（2）∁u(a∪b)；（3）a∩(∁ub).【答案】（1）；（2）或；（3）.(1)因为a＝{x|－1<x<2}，b＝{x|0<x≤3}，所以a∩b＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}.(2)a∪b＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，∁u(a∪b)＝{x|x≤－1或x></x≤7}，a={x∈r|2≤x<5}，b={x∈r|3≤x≤7}.求：（1）a∪b；（2）(ua)∪(ub).【答案】（1）a∪b={x|2≤x≤7}；（2）(ua)∪(ub)={x|1<x<3或5≤x≤7}.(1)因为a={x|2≤x<5}，b={x|3≤x≤7}，所以a∪b={x|2≤x≤7}.(2)因为u={x|1<x≤7}，a={x∈r|2≤x<5}，b={x∈r|3≤x≤7}.所以ua={x|1<x<2或5≤x≤7}，ub={x|1<x<3}，所以(ua)∪(ub)={x|1<x<3或5≤x≤7}.2．已知集合，或，．（ⅰ）求；（ⅱ）求．,【答案】（1）（2）（1）因为，或，所以（2）由或，知，所以.3．已知全集.集合,.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）解：（1）因为全集.集合,.所以（2）因为，所以，所以4．已知全集，集合，集合，（1）求，；（2）求，.【答案】（1）；（2），.（1）因为，，，所以，；（2）因为，，，所以，，所以.,5．已知全集，集合．（ⅰ）求和；（ⅱ）求．【答案】（ⅰ），；（ⅱ）或（ⅰ）,，,（ⅱ），，或高中必会题型3：与补集有关的求参数问题1．已知集合u={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a={﹣1，0，1}，b={1，2}，则∁u(a∪b)=___________.【答案】{﹣2，3}解：∵u={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a={﹣1，0，1}，b={1，2}，∴a∪b={﹣1，0，1，2}，∁u(a∪b)={﹣2，3}.故答案为：{﹣2，3}.2．已知集合，，则＝_____．【答案】∵，，∴，∴．故答案为：．3．已知集合，，，则______．【答案】由题意，而，所以．,故答案为：.4．已知全集，，，则=_______【答案】.因为全集，，所以，又因为，所以，故答案为：.5．已知全集，定义，若，，则___________.【答案】由题意可知，，所以.故答案为：对点精练1．设集合a={1，2，3，4}，b={3，4，5}，全集u=a∪b，则集合u(a∩b)=（）a．{1，2，3，5}b．{1，2，3}c．{1，2，5}d．{1，2，3，4，5}【答案】c因为a={1，2，3，4}，b={3，4，5}，所以全集u=a∪b={1，2，3，4，5}，a∩b={3，4}，所以u(a∩b)={1，2，5}.故选：c.2．已知集合m＝{x∈r|x2﹣2x＝0}，u＝{2，1，0}，则（>