初升高数学全体系衔接专题01数与式的运算（学生版）

专题01数与式的运算专题综述课程要求初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别与的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂,知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化,．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：,我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|+2|=3的解为　；（2）解不等式：|－2|＜6；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；（4）解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简a2+|a-b|-|b-a|.【能力提升】已知方程组x+y=5+a4x-y=10-6a的解x、y的值的符号相同.(1)求a的取值范围；(2)化简：2a+2-2a-3.,高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：（2）化简：【变式训练】计算：（1）（2）【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）;（2）【变式训练】,小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式＝＝＝．她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：÷（4x－y）【能力提升】已知：，则的值等于多少？对点精练1．下列运算正确的是（　　）A．＝B．,C．3x3﹣5x3＝﹣2D．8x3÷4x＝2x32．下列计算结果正确的是（　　　）A．B．C．÷=D．3．若式子有意义，则下列说法正确的是（）A．且B．C．D．4．计算的结果是（）A．3B．0C．D．5．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（）A．B．C．或D．2或66．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　）A．B．C．D．7．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（）．A．，，0，2，4B．，，2，4C．0D．，0，48．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A．B．C．D．,9．与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．610．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（）A．B．C．D．11．若，则分式______﹒12．若分式的值为零，则的值为_______．13．已知整数a满足，则分式的值为________．14．计算的结果等于_________．15．计算__．16．化简：___________17．化简的结果为____．18．若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．19．已知，则的最小值为__．20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．21．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．22．计算：．23．已知a，b，c满足，请回答下列问题：（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3,个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．25．（1）已知，求代数式的值；（2）化简：．26．先化简，再求值：，其中．27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；（2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．28．（1）计算：（2）先化简再求值：，其中．29．已知，求代数式的值．,30．计算：（1）（2）（3）（4）